Theorem wdom2d 8027

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4563). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdom2d.a
wdom2d.b
wdom2d.o

Assertion

Ref	Expression
wdom2d

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,

Proof of Theorem wdom2d

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdom2d.b	. . . . . 6
2		rabexg 4602	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4		wdom2d.a	. . . . 5
5		xpexg 6602	. . . . 5
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. . . 4
7		csbeq1 3437	. . . . . . . . . 10
8	7	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
9	8	elrab 3257	. . . . . . . 8
10	9	simprbi 464	. . . . . . 7
11	10	adantl 466	. . . . . 6
12		eqid 2457	. . . . . 6
13	11, 12	fmptd 6055	. . . . 5
14		fssxp 5748	. . . . 5
15	13, 14	syl 16	. . . 4
16	6, 15	ssexd 4599	. . 3
17		wdom2d.o	. . . . . . . 8
18		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
19	18	biimpcd 224	. . . . . . . . . . 11
20	19	ancrd 554	. . . . . . . . . 10
21	20	adantl 466	. . . . . . . . 9
22	21	reximdv 2931	. . . . . . . 8
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . 7
24		nfv 1707	. . . . . . . 8
25		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . 10
26	25	nfel1 2635	. . . . . . . . 9
27	25	nfeq2 2636	. . . . . . . . 9
28	26, 27	nfan 1928	. . . . . . . 8
29		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . 10
30	29	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
31	29	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9
32	30, 31	anbi12d 710	. . . . . . . 8
33	24, 28, 32	cbvrex 3081	. . . . . . 7
34	23, 33	sylib 196	. . . . . 6
35		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12
37	36	elrab 3257	. . . . . . . . . . 11
38	37	simprbi 464	. . . . . . . . . 10
39		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . 11
40	39, 12	fvmptg 5954	. . . . . . . . . 10
41	38, 40	mpdan 668	. . . . . . . . 9
42	41	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
43	42	rexbiia 2958	. . . . . . 7
44	36	rexrab 3263	. . . . . . 7
45	43, 44	bitri 249	. . . . . 6
46	34, 45	sylibr 212	. . . . 5
47	46	ralrimiva 2871	. . . 4
48		dffo3 6046	. . . 4
49	13, 47, 48	sylanbrc 664	. . 3
50		fowdom 8018	. . 3
51	16, 49, 50	syl2anc 661	. 2
52		ssrab2 3584	. . . 4
53		ssdomg 7581	. . . 4
54	52, 53	mpi 17	. . 3
55		domwdom 8021	. . 3
56	1, 54, 55	3syl 20	. 2
57		wdomtr 8022	. 2
58	51, 56, 57	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  cdom 7534  cwdom 8004

This theorem is referenced by:  wdomd  8028  brwdom3  8029  unwdomg  8031  xpwdomg  8032  wdom2d2  30977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006