MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdom2d Unicode version

Theorem wdom2d 8027
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function (stated in a way which avoids ax-rep 4563). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdom2d.a
wdom2d.b
wdom2d.o
Assertion
Ref Expression
wdom2d
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem wdom2d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wdom2d.b . . . . . 6
2 rabexg 4602 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
4 wdom2d.a . . . . 5
5 xpexg 6602 . . . . 5
63, 4, 5syl2anc 661 . . . 4
7 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
87eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
98elrab 3257 . . . . . . . 8
109simprbi 464 . . . . . . 7
1110adantl 466 . . . . . 6
12 eqid 2457 . . . . . 6
1311, 12fmptd 6055 . . . . 5
14 fssxp 5748 . . . . 5
1513, 14syl 16 . . . 4
166, 15ssexd 4599 . . 3
17 wdom2d.o . . . . . . . 8
18 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
1918biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
2019ancrd 554 . . . . . . . . . 10
2120adantl 466 . . . . . . . . 9
2221reximdv 2931 . . . . . . . 8
2317, 22mpd 15 . . . . . . 7
24 nfv 1707 . . . . . . . 8
25 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . 10
2625nfel1 2635 . . . . . . . . 9
2725nfeq2 2636 . . . . . . . . 9
2826, 27nfan 1928 . . . . . . . 8
29 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . 10
3029eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
3129eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
3230, 31anbi12d 710 . . . . . . . 8
3324, 28, 32cbvrex 3081 . . . . . . 7
3423, 33sylib 196 . . . . . 6
35 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . 13
3635eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
3736elrab 3257 . . . . . . . . . . 11
3837simprbi 464 . . . . . . . . . 10
39 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . 11
4039, 12fvmptg 5954 . . . . . . . . . 10
4138, 40mpdan 668 . . . . . . . . 9
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
4342rexbiia 2958 . . . . . . 7
4436rexrab 3263 . . . . . . 7
4543, 44bitri 249 . . . . . 6
4634, 45sylibr 212 . . . . 5
4746ralrimiva 2871 . . . 4
48 dffo3 6046 . . . 4
4913, 47, 48sylanbrc 664 . . 3
50 fowdom 8018 . . 3
5116, 49, 50syl2anc 661 . 2
52 ssrab2 3584 . . . 4
53 ssdomg 7581 . . . 4
5452, 53mpi 17 . . 3
55 domwdom 8021 . . 3
561, 54, 553syl 20 . 2
57 wdomtr 8022 . 2
5851, 56, 57syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   cdom 7534   cwdom 8004
This theorem is referenced by:  wdomd  8028  brwdom3  8029  unwdomg  8031  xpwdomg  8032  wdom2d2  30977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006
  Copyright terms: Public domain W3C validator