MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomfil Unicode version

Theorem wdomfil 8463
Description: Weak dominance agrees with normal for finite left sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomfil

Proof of Theorem wdomfil
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8013 . . . . . . 7
21brrelex2i 5046 . . . . . 6
3 0domg 7664 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
5 breq1 4455 . . . . 5
64, 5syl5ibr 221 . . . 4
76adantl 466 . . 3
8 brwdomn0 8016 . . . . 5
98adantl 466 . . . 4
10 vex 3112 . . . . . . . . . 10
11 fof 5800 . . . . . . . . . 10
12 dmfex 6758 . . . . . . . . . 10
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . . 9
1413adantl 466 . . . . . . . 8
15 simpl 457 . . . . . . . 8
16 simpr 461 . . . . . . . 8
17 fodomfi2 8462 . . . . . . . 8
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7
1918ex 434 . . . . . 6
2019adantr 465 . . . . 5
2120exlimdv 1724 . . . 4
229, 21sylbid 215 . . 3
237, 22pm2.61dane 2775 . 2
24 domwdom 8021 . 2
2523, 24impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784   class class class wbr 4452  -->wf 5589  -onto->wfo 5591   cdom 7534   cfn 7536   cwdom 8004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-wdom 8006  df-card 8341  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator