MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdompwdom Unicode version

Theorem wdompwdom 8025
Description: Weak dominance strengthens to usual dominance on the power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdompwdom

Proof of Theorem wdompwdom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8013 . . . . . 6
21brrelex2i 5046 . . . . 5
3 pwexg 4636 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 0ss 3814 . . . . 5
6 sspwb 4701 . . . . 5
75, 6mpbi 208 . . . 4
8 ssdomg 7581 . . . 4
94, 7, 8mpisyl 18 . . 3
10 pweq 4015 . . . 4
1110breq1d 4462 . . 3
129, 11syl5ibr 221 . 2
13 brwdomn0 8016 . . 3
14 vex 3112 . . . . 5
15 fopwdom 7645 . . . . 5
1614, 15mpan 670 . . . 4
1716exlimiv 1722 . . 3
1813, 17syl6bi 228 . 2
1912, 18pm2.61ine 2770 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  -onto->wfo 5591   cdom 7534   cwdom 8004
This theorem is referenced by:  isfin32i  8766  hsmexlem1  8827  hsmexlem3  8829  gchhar  9078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-dom 7538  df-wdom 8006
  Copyright terms: Public domain W3C validator