Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Unicode version

Theorem wdomtr 8022
 Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8013 . . . . 5
21brrelex2i 5046 . . . 4
4 0wdom 8017 . . . 4
5 breq1 4455 . . . 4
64, 5syl5ibrcom 222 . . 3
73, 6syl 16 . 2
8 simpll 753 . . . . 5
9 brwdomn0 8016 . . . . . 6
109adantl 466 . . . . 5
118, 10mpbid 210 . . . 4
12 simpllr 760 . . . . . 6
13 simplr 755 . . . . . . . 8
14 dm0rn0 5224 . . . . . . . . . . . 12
1514necon3bii 2725 . . . . . . . . . . 11
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10
17 fof 5800 . . . . . . . . . . . 12
18 fdm 5740 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10
21 forn 5803 . . . . . . . . . . 11
2221neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10
2316, 20, 223bitr3rd 284 . . . . . . . . 9
2423adantl 466 . . . . . . . 8
2513, 24mpbid 210 . . . . . . 7
26 brwdomn0 8016 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
2812, 27mpbid 210 . . . . 5
29 vex 3112 . . . . . . . . . 10
30 vex 3112 . . . . . . . . . 10
3129, 30coex 6752 . . . . . . . . 9
32 foco 5810 . . . . . . . . 9
33 fowdom 8018 . . . . . . . . 9
3431, 32, 33sylancr 663 . . . . . . . 8
3534adantl 466 . . . . . . 7
3635expr 615 . . . . . 6
3736exlimdv 1724 . . . . 5
3828, 37mpd 15 . . . 4
3911, 38exlimddv 1726 . . 3
4039ex 434 . 2
417, 40pm2.61dne 2774 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  o.ccom 5008  -->wf 5589  -onto->wfo 5591   cwdom 8004 This theorem is referenced by:  wdomen1  8023  wdomen2  8024  wdom2d  8027  wdomima2g  8033  unxpwdom2  8035  unxpwdom  8036  harwdom  8037  pwcdadom  8617  hsmexlem1  8827  hsmexlem4  8830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-wdom 8006
 Copyright terms: Public domain W3C validator