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Theorem wefrc 4878
Description: A nonempty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
wefrc
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem wefrc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wess 4871 . . 3
2 n0 3794 . . . 4
3 ineq2 3693 . . . . . . . . . . 11
43eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
54rspcev 3210 . . . . . . . . 9
65ex 434 . . . . . . . 8
76adantl 466 . . . . . . 7
8 inss1 3717 . . . . . . . . . . 11
9 wefr 4874 . . . . . . . . . . . . 13
10 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110inex2 4594 . . . . . . . . . . . . . 14
1211epfrc 4870 . . . . . . . . . . . . 13
139, 12syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . 12
14133exp 1195 . . . . . . . . . . 11
158, 14mpi 17 . . . . . . . . . 10
16 elin 3686 . . . . . . . . . . . . 13
1716anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12
18 anass 649 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . . . 11
2019rexbii2 2957 . . . . . . . . . 10
2115, 20syl6ib 226 . . . . . . . . 9
2221adantr 465 . . . . . . . 8
23 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
25 3anrot 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2624, 25bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
27 wetrep 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2827expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2926, 28sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3029exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3332impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3423, 33syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534imp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14
3736ralrimdv 2873 . . . . . . . . . . . . 13
38 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12
40 dfss 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 in32 3709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241eqeq2i 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15
4340, 42sylbb 197 . . . . . . . . . . . . . 14
4443eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
4544biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12
4639, 45syl6 33 . . . . . . . . . . 11
4746expd 436 . . . . . . . . . 10
4847imp4a 589 . . . . . . . . 9
4948reximdvai 2929 . . . . . . . 8
5022, 49syld 44 . . . . . . 7
517, 50pm2.61dne 2774 . . . . . 6
5251ex 434 . . . . 5
5352exlimdv 1724 . . . 4
542, 53syl5bi 217 . . 3
551, 54syl6com 35 . 2
56553imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   cep 4794  Frwfr 4840  Wewwe 4842
This theorem is referenced by:  tz7.5  4904  onnseq  7034  finminlem  30136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845
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