Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2OLD Unicode version

Theorem wemapso2OLD 7998
 Description: An alternative to having a well-order on in wemapso 7997 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) Obsolete version of wemapso2 8000 as of 1-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t
wemapso2OLD.u
Assertion
Ref Expression
wemapso2OLD
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,,   ,S,,,   ,

Proof of Theorem wemapso2OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . 2
2 wemapso.t . . 3
3 wemapso2OLD.u . . . 4
4 ssrab2 3584 . . . 4
53, 4eqsstri 3533 . . 3
6 simp1 996 . . 3
7 simp2 997 . . 3
8 simp3 998 . . 3
9 simprll 763 . . . . . . 7
10 cnveq 5181 . . . . . . . . . . 11
1110imaeq1d 5341 . . . . . . . . . 10
1211eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
1312, 3elrab2 3259 . . . . . . . 8
1413simprbi 464 . . . . . . 7
159, 14syl 16 . . . . . 6
16 simprlr 764 . . . . . . 7
17 cnveq 5181 . . . . . . . . . . 11
1817imaeq1d 5341 . . . . . . . . . 10
1918eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
2019, 3elrab2 3259 . . . . . . . 8
2120simprbi 464 . . . . . . 7
2216, 21syl 16 . . . . . 6
23 unfi 7807 . . . . . 6
2415, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5
255, 9sseldi 3501 . . . . . . . . 9
26 elmapi 7460 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8
28 ffn 5736 . . . . . . . 8
2927, 28syl 16 . . . . . . 7
305, 16sseldi 3501 . . . . . . . . 9
31 elmapi 7460 . . . . . . . . 9
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8
33 ffn 5736 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
35 fndmdif 5991 . . . . . . 7
3629, 34, 35syl2anc 661 . . . . . 6
37 eqtr3 2485 . . . . . . . . . . 11
3837necon3ai 2685 . . . . . . . . . 10
39 neorian 2784 . . . . . . . . . 10
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . 9
41 elun 3644 . . . . . . . . . 10
4229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
43 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
4645biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13
4744, 46bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12
48 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
49 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . 13
5048, 49mpbiran 918 . . . . . . . . . . . 12
5147, 50syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
5234adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
53 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5545biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12
57 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
58 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . 13
5957, 58mpbiran 918 . . . . . . . . . . . 12
6056, 59syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
6151, 60orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
6241, 61syl5bb 257 . . . . . . . . 9
6340, 62syl5ibr 221 . . . . . . . 8
6463ralrimiva 2871 . . . . . . 7
65 rabss 3576 . . . . . . 7
6664, 65sylibr 212 . . . . . 6
6736, 66eqsstrd 3537 . . . . 5
68 ssfi 7760 . . . . 5
6924, 67, 68syl2anc 661 . . . 4
70 cnvimass 5362 . . . . . . . . 9
71 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
7227, 71syl 16 . . . . . . . . 9
7370, 72syl5sseq 3551 . . . . . . . 8
74 cnvimass 5362 . . . . . . . . 9
75 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
7632, 75syl 16 . . . . . . . . 9
7774, 76syl5sseq 3551 . . . . . . . 8
7873, 77unssd 3679 . . . . . . 7
797adantr 465 . . . . . . 7
80 soss 4823 . . . . . . 7
8178, 79, 80sylc 60 . . . . . 6
82 wofi 7789 . . . . . 6
8381, 24, 82syl2anc 661 . . . . 5
84 wefr 4874 . . . . 5
8583, 84syl 16 . . . 4
86 simprr 757 . . . . 5
87 fndmdifeq0 5993 . . . . . . 7
8829, 34, 87syl2anc 661 . . . . . 6
8988necon3bid 2715 . . . . 5
9086, 89mpbird 232 . . . 4
91 fri 4846 . . . 4
9269, 85, 67, 90, 91syl22anc 1229 . . 3
932, 5, 6, 7, 8, 92wemapsolem 7996 . 2
941, 93syl3an1 1261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  {copab 4509  Orwor 4804  Frwfr 4840  Wewwe 4842  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cfn 7536 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator