MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2lem Unicode version

Theorem wemapso2lem 7999
Description: Lemma for wemapso2 8000. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t
wemapso2.u
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem
Distinct variable groups:   ,   , , , ,   , , , ,   ,S, , ,   ,

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2
2 wemapso2.u . . 3
3 ssrab2 3584 . . 3
42, 3eqsstri 3533 . 2
5 elex 3118 . . . 4
653ad2ant1 1017 . . 3
76adantr 465 . 2
8 simpl2 1000 . 2
9 simpl3 1001 . 2
10 simprll 763 . . . . . 6
11 breq1 4455 . . . . . . . 8
1211, 2elrab2 3259 . . . . . . 7
1312simprbi 464 . . . . . 6
1410, 13syl 16 . . . . 5
15 simprlr 764 . . . . . 6
16 breq1 4455 . . . . . . . 8
1716, 2elrab2 3259 . . . . . . 7
1817simprbi 464 . . . . . 6
1915, 18syl 16 . . . . 5
2014, 19fsuppunfi 7869 . . . 4
214, 10sseldi 3501 . . . . . . . 8
22 elmapi 7460 . . . . . . . 8
2321, 22syl 16 . . . . . . 7
24 ffn 5736 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
264, 15sseldi 3501 . . . . . . . 8
27 elmapi 7460 . . . . . . . 8
2826, 27syl 16 . . . . . . 7
29 ffn 5736 . . . . . . 7
3028, 29syl 16 . . . . . 6
31 fndmdif 5991 . . . . . 6
3225, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5
33 eqtr3 2485 . . . . . . . . . 10
3433necon3ai 2685 . . . . . . . . 9
35 neorian 2784 . . . . . . . . 9
3634, 35sylibr 212 . . . . . . . 8
37 elun 3644 . . . . . . . . 9
38 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4342anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
4425adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
457ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
48 elsuppfn 6926 . . . . . . . . . . . . 13
4944, 45, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
5150biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12
5243, 49, 513bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11
5352, 40syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
54 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
5958anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
6030adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
61 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . 14
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
63 elsuppfn 6926 . . . . . . . . . . . . 13
6460, 62, 47, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
6550biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12
6659, 64, 653bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11
6766, 56syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
6853, 67orbi12d 709 . . . . . . . . 9
6937, 68syl5bb 257 . . . . . . . 8
7036, 69syl5ibr 221 . . . . . . 7
7170ralrimiva 2871 . . . . . 6
72 rabss 3576 . . . . . 6
7371, 72sylibr 212 . . . . 5
7432, 73eqsstrd 3537 . . . 4
75 ssfi 7760 . . . 4
7620, 74, 75syl2anc 661 . . 3
77 suppssdm 6931 . . . . . . . 8
78 fdm 5740 . . . . . . . . 9
7923, 78syl 16 . . . . . . . 8
8077, 79syl5sseq 3551 . . . . . . 7
81 suppssdm 6931 . . . . . . . 8
82 fdm 5740 . . . . . . . . 9
8328, 82syl 16 . . . . . . . 8
8481, 83syl5sseq 3551 . . . . . . 7
8580, 84unssd 3679 . . . . . 6
868adantr 465 . . . . . 6
87 soss 4823 . . . . . 6
8885, 86, 87sylc 60 . . . . 5
89 wofi 7789 . . . . 5
9088, 20, 89syl2anc 661 . . . 4
91 wefr 4874 . . . 4
9290, 91syl 16 . . 3
93 simprr 757 . . . 4
94 fndmdifeq0 5993 . . . . . 6
9525, 30, 94syl2anc 661 . . . . 5
9695necon3bid 2715 . . . 4
9793, 96mpbird 232 . . 3
98 fri 4846 . . 3
9976, 92, 74, 97, 98syl22anc 1229 . 2
1001, 4, 7, 8, 9, 99wemapsolem 7996 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  {copab 4509  Orwor 4804  Frwfr 4840  Wewwe 4842  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918   cmap 7439   cfn 7536   cfsupp 7849
This theorem is referenced by:  wemapso2  8000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850
  Copyright terms: Public domain W3C validator