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Theorem weniso 6250
Description: A set-like well-ordering has no nontrivial automorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weniso

Proof of Theorem weniso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0 3805 . . . . . 6
2 rexnal 2905 . . . . . 6
31, 2bitri 249 . . . . 5
4 simpl1 999 . . . . . . . . 9
5 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
6 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
76a1i 11 . . . . . . . . 9
8 simpr 461 . . . . . . . . 9
9 wereu2 4881 . . . . . . . . 9
104, 5, 7, 8, 9syl22anc 1229 . . . . . . . 8
11 reurex 3074 . . . . . . . 8
1210, 11syl 16 . . . . . . 7
1312ex 434 . . . . . 6
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
15 id 22 . . . . . . . . . . 11
1614, 15eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
1716notbid 294 . . . . . . . . 9
1817elrab 3257 . . . . . . . 8
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13
2221notbid 294 . . . . . . . . . . . 12
2322ralrab 3261 . . . . . . . . . . 11
24 con34b 292 . . . . . . . . . . . . 13
2524bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12
2625ralbii 2888 . . . . . . . . . . 11
2723, 26bitri 249 . . . . . . . . . 10
28 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 isof1o 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
36 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3836, 37eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15
4134, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4241com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
4342imp 429 . . . . . . . . . . . 12
44 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4530, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 f1fveq 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15
4745, 34, 33, 46syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14
48 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
5047, 49sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5243, 51syld 44 . . . . . . . . . . 11
53 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5530, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655, 33ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . 14
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
58 isorel 6222 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5928, 56, 33, 58syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6130, 33, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15
6359, 62bitr2d 254 . . . . . . . . . . . . . 14
6463biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
65 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6866, 67eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6965, 68imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
7170com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
7257, 64, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
73 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7661fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7861adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7975, 77, 783eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
8073, 79, 48sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
8180ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8372, 82syld 44 . . . . . . . . . . 11
84 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
85 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 weso 4875 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
88 sotrieq 4832 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 34, 33, 88syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13
9089con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12
9184, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
9252, 83, 91mpjaodan 786 . . . . . . . . . 10
9327, 92syl5bi 217 . . . . . . . . 9
9493ex 434 . . . . . . . 8
9518, 94syl5bi 217 . . . . . . 7
9695rexlimdv 2947 . . . . . 6
9713, 96syld 44 . . . . 5
983, 97syl5bir 218 . . . 4
9998pm2.18d 111 . . 3
100 fvresi 6097 . . . . . 6
101100eqeq2d 2471 . . . . 5
102101biimprd 223 . . . 4
103102ralimia 2848 . . 3
10499, 103syl 16 . 2
105293ad2ant3 1019 . . . 4
106 f1ofn 5822 . . . 4
107105, 106syl 16 . . 3
108 fnresi 5703 . . . 4
109108a1i 11 . . 3
110 eqfnfv 5981 . . 3
111107, 109, 110syl2anc 661 . 2
112104, 111mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cid 4795  Orwor 4804  Sewse 4841  Wewwe 4842  `'ccnv 5003  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594
This theorem is referenced by:  weisoeq  6251  oiid  7987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602
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