MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainflem Unicode version

Theorem winainflem 9092
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 6724 . . . 4
2 simp1 996 . . . . . 6
32necon2bi 2694 . . . . 5
4 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
54sucid 4962 . . . . . . . . . . 11
6 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11
75, 6mpbiri 233 . . . . . . . . . 10
87adantl 466 . . . . . . . . 9
9 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
109rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11
11 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
1211cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . 11
1310, 12syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
1413rspcv 3206 . . . . . . . . 9
158, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
18173ad2antl2 1159 . . . . . . . . . . . . 13
19 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2421, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25243adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
30 onsssuc 4970 . . . . . . . . . . . . . 14
3127, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
3218, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
33 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . 12
344, 32, 33mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11
35 domnsym 7663 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10
3736nrexdv 2913 . . . . . . . . 9
38373expia 1198 . . . . . . . 8
3915, 38pm2.65d 175 . . . . . . 7
4039intn3an3d 1340 . . . . . 6
4140rexlimiva 2945 . . . . 5
423, 41jaoi 379 . . . 4
431, 42syl 16 . . 3
4443con2i 120 . 2
45 ordom 6709 . . 3
46 eloni 4893 . . . 4
47463ad2ant2 1018 . . 3
48 ordtri1 4916 . . 3
4945, 47, 48sylancr 663 . 2
5044, 49mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885   com 6700   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  winainf  9093  tskcard  9180  gruina  9217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator