Theorem winalim2 9095

Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a limit aleph. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winalim2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem winalim2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winacard 9091	. . . 4
2		winainf 9093	. . . . 5
3		cardalephex 8492	. . . . 5
4	2, 3	syl 16	. . . 4
5	1, 4	mpbid 210	. . 3
6	5	adantr 465	. 2
7		df-rex 2813	. . 3
8		simprr 757	. . . . . . 7
9	8	eqcomd 2465	. . . . . 6
10		simprl 756	. . . . . . . 8
11		onzsl 6681	. . . . . . . 8
12	10, 11	sylib 196	. . . . . . 7
13		simplr 755	. . . . . . . . . 10
14		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
15		aleph0 8468	. . . . . . . . . . . . . 14
16	14, 15	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . 13
17		eqtr 2483	. . . . . . . . . . . . 13
18	16, 17	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
19	18	ex 434	. . . . . . . . . . 11
20	19	necon3ad 2667	. . . . . . . . . 10
21	8, 13, 20	sylc 60	. . . . . . . . 9
22	21	pm2.21d 106	. . . . . . . 8
23		suceloni 6648	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	24	sucid 4962	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26		alephord2i 8479	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	23, 25, 26	mpisyl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14
29		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	29, 31	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . 14
33	28, 32	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . 13
34		elwina 9085	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	simp3bi 1013	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13
37		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . 13
40	33, 36, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
41	40	expr 615	. . . . . . . . . . 11
42		iscard 8377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43	42	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45	1, 43, 44	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	45	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	32	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	46, 47	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . 15
49		alephnbtwn2 8474	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		pm3.21 448	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	49, 50	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	48, 51	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14
53	52	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	nrexdv 2913	. . . . . . . . . . . 12
55	54	expr 615	. . . . . . . . . . 11
56	41, 55	pm2.65d 175	. . . . . . . . . 10
57	56	nrexdv 2913	. . . . . . . . 9
58	57	pm2.21d 106	. . . . . . . 8
59		simpr 461	. . . . . . . . 9
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8
61	22, 58, 60	3jaod 1292	. . . . . . 7
62	12, 61	mpd 15	. . . . . 6
63	9, 62	jca 532	. . . . 5
64	63	ex 434	. . . 4
65	64	eximdv 1710	. . 3
66	7, 65	syl5bi 217	. 2
67	6, 66	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593  com 6700  csdm 7535  ccrd 8337  cale 8338  ccf 8339  cwina 9081

This theorem is referenced by:  winafp  9096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-wina 9083