MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winalim2 Unicode version

Theorem winalim2 9095
Description: A nontrivial weakly inaccessible cardinal is a limit aleph. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winalim2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem winalim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 winacard 9091 . . . 4
2 winainf 9093 . . . . 5
3 cardalephex 8492 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
51, 4mpbid 210 . . 3
65adantr 465 . 2
7 df-rex 2813 . . 3
8 simprr 757 . . . . . . 7
98eqcomd 2465 . . . . . 6
10 simprl 756 . . . . . . . 8
11 onzsl 6681 . . . . . . . 8
1210, 11sylib 196 . . . . . . 7
13 simplr 755 . . . . . . . . . 10
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
15 aleph0 8468 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13
17 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
1918ex 434 . . . . . . . . . . 11
2019necon3ad 2667 . . . . . . . . . 10
218, 13, 20sylc 60 . . . . . . . . 9
2221pm2.21d 106 . . . . . . . 8
23 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524sucid 4962 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 alephord2i 8479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2723, 25, 26mpisyl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14
29 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
3229, 31eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
3328, 32eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13
34 elwina 9085 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . 14
3635ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13
37 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14
3938rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13
4033, 36, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4140expr 615 . . . . . . . . . . 11
42 iscard 8377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4342simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
451, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4732breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4846, 47sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 alephnbtwn2 8474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 pm3.21 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5149, 50mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . 15
5248, 51syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
5453nrexdv 2913 . . . . . . . . . . . 12
5554expr 615 . . . . . . . . . . 11
5641, 55pm2.65d 175 . . . . . . . . . 10
5756nrexdv 2913 . . . . . . . . 9
5857pm2.21d 106 . . . . . . . 8
59 simpr 461 . . . . . . . . 9
6059a1i 11 . . . . . . . 8
6122, 58, 603jaod 1292 . . . . . . 7
6212, 61mpd 15 . . . . . 6
639, 62jca 532 . . . . 5
6463ex 434 . . . 4
6564eximdv 1710 . . 3
667, 65syl5bi 217 . 2
676, 66mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593   com 6700   csdm 7535   ccrd 8337   cale 8338   ccf 8339   cwina 9081
This theorem is referenced by:  winafp  9096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-wina 9083
  Copyright terms: Public domain W3C validator