MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wofib Unicode version

Theorem wofib 7991
Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wofib.1
Assertion
Ref Expression
wofib

Proof of Theorem wofib
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wofi 7789 . . 3
2 cnvso 5551 . . . 4
3 wofi 7789 . . . 4
42, 3sylanb 472 . . 3
51, 4jca 532 . 2
6 weso 4875 . . . 4
76adantr 465 . . 3
8 peano2 6720 . . . . . . . . 9
9 sucidg 4961 . . . . . . . . 9
10 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
11 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11brcnv 5190 . . . . . . . . . . . 12
13 epel 4799 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13bitri 249 . . . . . . . . . . 11
15 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11
1614, 15syl5bb 257 . . . . . . . . . 10
1716rspcev 3210 . . . . . . . . 9
188, 9, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8
19 dfrex2 2908 . . . . . . . 8
2018, 19sylib 196 . . . . . . 7
2120nrex 2912 . . . . . 6
22 ordom 6709 . . . . . . . 8
23 eqid 2457 . . . . . . . . 9
2423oicl 7975 . . . . . . . 8
25 ordtri1 4916 . . . . . . . 8
2622, 24, 25mp2an 672 . . . . . . 7
27 wofib.1 . . . . . . . . . . 11
2823oion 7982 . . . . . . . . . . 11
2927, 28mp1i 12 . . . . . . . . . 10
30 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3129, 30ssexd 4599 . . . . . . . . 9
3223oiiso 7983 . . . . . . . . . . . . 13
3327, 32mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
34 isocnv2 6227 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . . . 11
36 wefr 4874 . . . . . . . . . . 11
37 isofr 6238 . . . . . . . . . . . 12
3837biimpar 485 . . . . . . . . . . 11
3935, 36, 38syl2an 477 . . . . . . . . . 10
4039adantr 465 . . . . . . . . 9
41 1onn 7307 . . . . . . . . . 10
42 ne0i 3790 . . . . . . . . . 10
4341, 42mp1i 12 . . . . . . . . 9
44 fri 4846 . . . . . . . . 9
4531, 40, 30, 43, 44syl22anc 1229 . . . . . . . 8
4645ex 434 . . . . . . 7
4726, 46syl5bir 218 . . . . . 6
4821, 47mt3i 126 . . . . 5
49 ssid 3522 . . . . 5
50 ssnnfi 7759 . . . . 5
5148, 49, 50sylancl 662 . . . 4
52 simpl 457 . . . . . 6
5323oien 7984 . . . . . 6
5427, 52, 53sylancr 663 . . . . 5
55 enfi 7756 . . . . 5
5654, 55syl 16 . . . 4
5751, 56mpbid 210 . . 3
587, 57jca 532 . 2
595, 58impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cep 4794  Orwor 4804  Frwfr 4840  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  Isomwiso 5594   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cfn 7536  OrdIsocoi 7955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator