Theorem wrdind 12702

Description: Perform induction over the structure of a word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdind.1
wrdind.2
wrdind.3
wrdind.4
wrdind.5
wrdind.6

Assertion

Ref	Expression
wrdind

Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem wrdind

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 12562	. . 3
2		eqeq2 2472	. . . . . 6
3	2	imbi1d 317	. . . . 5
4	3	ralbidv 2896	. . . 4
5		eqeq2 2472	. . . . . 6
6	5	imbi1d 317	. . . . 5
7	6	ralbidv 2896	. . . 4
8		eqeq2 2472	. . . . . 6
9	8	imbi1d 317	. . . . 5
10	9	ralbidv 2896	. . . 4
11		eqeq2 2472	. . . . . 6
12	11	imbi1d 317	. . . . 5
13	12	ralbidv 2896	. . . 4
14		hasheq0 12433	. . . . . 6
15		wrdind.5	. . . . . . 7
16		wrdind.1	. . . . . . 7
17	15, 16	mpbiri 233	. . . . . 6
18	14, 17	syl6bi 228	. . . . 5
19	18	rgen 2817	. . . 4
20		fveq2 5871	. . . . . . . 8
21	20	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
22		wrdind.2	. . . . . . 7
23	21, 22	imbi12d 320	. . . . . 6
24	23	cbvralv 3084	. . . . 5
25		swrdcl 12646	. . . . . . . . . . . 12
26	25	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11
27		simplr 755	. . . . . . . . . . 11
28		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13
29		fzossfz 11846	. . . . . . . . . . . . . 14
30		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33	30, 32	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		fzo0end 11904	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
36	29, 35	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . 13
37		swrd0len 12649	. . . . . . . . . . . . 13
38	28, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
39	30	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12
40		nn0cn 10830	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
42		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . 13
43		pncan 9849	. . . . . . . . . . . . 13
44	41, 42, 43	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12
45	38, 39, 44	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . 11
46		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . 13
48		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	48, 22	sbcie 3362	. . . . . . . . . . . . . 14
50		dfsbcq 3329	. . . . . . . . . . . . . 14
51	49, 50	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13
52	47, 51	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
53	52	rspcv 3206	. . . . . . . . . . 11
54	26, 27, 45, 53	syl3c 61	. . . . . . . . . 10
55		wrdf 12553	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12
57	56, 35	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . 11
58		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	sbceq1d 3332	. . . . . . . . . . . . 13
60	50, 59	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
61		s1eq 12612	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14
63	62	sbceq1d 3332	. . . . . . . . . . . . 13
64	63	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12
65		wrdind.6	. . . . . . . . . . . . 13
66		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14
67		wrdind.3	. . . . . . . . . . . . . 14
68	66, 67	sbcie 3362	. . . . . . . . . . . . 13
69	65, 49, 68	3imtr4g 270	. . . . . . . . . . . 12
70	60, 64, 69	vtocl2ga 3175	. . . . . . . . . . 11
71	26, 57, 70	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
72	54, 71	mpd 15	. . . . . . . . 9
73		wrdfin 12561	. . . . . . . . . . . . . 14
74	73	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13
75		hashnncl 12436	. . . . . . . . . . . . 13
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
77	33, 76	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
78		wrdeqcats1 12699	. . . . . . . . . . 11
79	28, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
80		sbceq1a 3338	. . . . . . . . . 10
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . 9
82	72, 81	mpbird 232	. . . . . . . 8
83	82	expr 615	. . . . . . 7
84	83	ralrimiva 2871	. . . . . 6
85	84	ex 434	. . . . 5
86	24, 85	syl5bi 217	. . . 4
87	4, 7, 10, 13, 19, 86	nn0ind 10984	. . 3
88	1, 87	syl 16	. 2
89		eqidd 2458	. 2
90		fveq2 5871	. . . . 5
91	90	eqeq1d 2459	. . . 4
92		wrdind.4	. . . 4
93	91, 92	imbi12d 320	. . 3
94	93	rspcv 3206	. 2
95	88, 89, 94	mp2d 45	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  [.wsbc 3327  c0 3784  <.cop 4035  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cfz 11701  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536  <"cs1 12537  csubstr 12538

This theorem is referenced by:  frmdgsum  16030  gsumwrev  16401  gsmsymgrfix  16453  efginvrel2  16745  signstfvneq0  28529  signstfvc  28531  mrsubvrs  28882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-s1 12545  df-substr 12546