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Theorem wuncval2 9146
Description: Our earlier expression for a containing weak universe is in fact the weak universe closure. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wuncval2.f
wuncval2.u
Assertion
Ref Expression
wuncval2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem wuncval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval2.f . . . 4
2 wuncval2.u . . . 4
31, 2wunex2 9137 . . 3
4 wuncss 9144 . . 3
53, 4syl 16 . 2
6 frfnom 7119 . . . . . 6
71fneq1i 5680 . . . . . 6
86, 7mpbir 209 . . . . 5
9 fniunfv 6159 . . . . 5
108, 9ax-mp 5 . . . 4
112, 10eqtr4i 2489 . . 3
12 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1312sseq1d 3530 . . . . . . 7
14 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1514sseq1d 3530 . . . . . . 7
16 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1716sseq1d 3530 . . . . . . 7
18 1on 7156 . . . . . . . . . 10
19 unexg 6601 . . . . . . . . . 10
2018, 19mpan2 671 . . . . . . . . 9
211fveq1i 5872 . . . . . . . . . 10
22 fr0g 7120 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
2420, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 wuncid 9142 . . . . . . . . 9
26 df1o2 7161 . . . . . . . . . 10
27 wunccl 9143 . . . . . . . . . . . 12
2827wun0 9117 . . . . . . . . . . 11
2928snssd 4175 . . . . . . . . . 10
3026, 29syl5eqss 3547 . . . . . . . . 9
3125, 30unssd 3679 . . . . . . . 8
3224, 31eqsstrd 3537 . . . . . . 7
33 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
34 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
3534uniex 6596 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35unex 6598 . . . . . . . . . . . 12
37 prex 4694 . . . . . . . . . . . . . 14
3834mptex 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938rnex 6734 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39unex 6598 . . . . . . . . . . . . 13
4134, 40iunex 6780 . . . . . . . . . . . 12
4236, 41unex 6598 . . . . . . . . . . 11
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
44 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . . 13
46 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4846, 47preq12d 4117 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 preq1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5248, 51uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352cbviunv 4369 . . . . . . . . . . . . . 14
54 preq2 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 mpteq1 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5755, 56syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958uneq2d 3657 . . . . . . . . . . . . . . 15
6043, 59iuneq12d 4356 . . . . . . . . . . . . . 14
6153, 60syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13
6245, 61uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . 12
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
64 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . 14
6563, 64uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . . 13
66 mpteq1 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867uneq2d 3657 . . . . . . . . . . . . . 14
6963, 68iuneq12d 4356 . . . . . . . . . . . . 13
7065, 69uneq12d 3658 . . . . . . . . . . . 12
711, 62, 70frsucmpt2 7124 . . . . . . . . . . 11
7233, 42, 71sylancl 662 . . . . . . . . . 10
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
7427ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
7674, 75wunelss 9107 . . . . . . . . . . . . . 14
7776ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
78 unissb 4281 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
8073, 79unssd 3679 . . . . . . . . . . 11
8174, 75wunpw 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15
8274, 75wununi 9105 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 prssi 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
8574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8985, 86, 88wunpr 9108 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9189, 90fmptd 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9484, 93unssd 3679 . . . . . . . . . . . . 13
9594ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
96 iunss 4371 . . . . . . . . . . . 12
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
9880, 97unssd 3679 . . . . . . . . . 10
9972, 98eqsstrd 3537 . . . . . . . . 9
10099ex 434 . . . . . . . 8
101100expcom 435 . . . . . . 7
10213, 15, 17, 32, 101finds2 6728 . . . . . 6
103102com12 31 . . . . 5
104103ralrimiv 2869 . . . 4
105 iunss 4371 . . . 4
106104, 105sylibr 212 . . 3
10711, 106syl5eqss 3547 . 2
1085, 107eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  {cpr 4031  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510   con0 4883  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   c1o 7142   cwun 9099   cwunm 9100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-wun 9101  df-wunc 9102
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