Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunr1om Unicode version

Theorem wunr1om 9118
 Description: A weak universe is infinite, because it contains all the finite levels of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1
Assertion
Ref Expression
wunr1om

Proof of Theorem wunr1om
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1fnon 8206 . . . . . 6
2 fnfun 5683 . . . . . 6
31, 2ax-mp 5 . . . . 5
4 fvelima 5925 . . . . 5
53, 4mpan 670 . . . 4
6 fveq2 5871 . . . . . . . 8
76eleq1d 2526 . . . . . . 7
8 fveq2 5871 . . . . . . . 8
98eleq1d 2526 . . . . . . 7
10 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1110eleq1d 2526 . . . . . . 7
12 r10 8207 . . . . . . . 8
13 wun0.1 . . . . . . . . 9
1413wun0 9117 . . . . . . . 8
1512, 14syl5eqel 2549 . . . . . . 7
1613adantr 465 . . . . . . . . . 10
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10
1816, 17wunpw 9106 . . . . . . . . 9
19 nnon 6706 . . . . . . . . . . 11
20 r1suc 8209 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
2318, 22syl5ibr 221 . . . . . . . 8
2423expd 436 . . . . . . 7
257, 9, 11, 15, 24finds2 6728 . . . . . 6
26 eleq1 2529 . . . . . . 7
2726imbi2d 316 . . . . . 6
2825, 27syl5ibcom 220 . . . . 5
2928rexlimiv 2943 . . . 4
305, 29syl 16 . . 3
3130com12 31 . 2
3231ssrdv 3509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   con0 4883  succsuc 4885  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700   cr1 8201   cwun 9099 This theorem is referenced by:  wunom  9119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-wun 9101
 Copyright terms: Public domain W3C validator