Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddass Unicode version

 Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both and appear as one of A, , , i.e. ", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where is not present in A, , , and xaddass2 11471, where is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 recn 9603 . . . . . . . . . 10
2 recn 9603 . . . . . . . . . 10
3 recn 9603 . . . . . . . . . 10
4 addass 9600 . . . . . . . . . 10
51, 2, 3, 4syl3an 1270 . . . . . . . . 9
653expa 1196 . . . . . . . 8
7 readdcl 9596 . . . . . . . . 9
8 rexadd 11460 . . . . . . . . 9
97, 8sylan 471 . . . . . . . 8
10 readdcl 9596 . . . . . . . . . 10
11 rexadd 11460 . . . . . . . . . 10
1210, 11sylan2 474 . . . . . . . . 9
1312anassrs 648 . . . . . . . 8
146, 9, 133eqtr4d 2508 . . . . . . 7
15 rexadd 11460 . . . . . . . . 9
1615adantr 465 . . . . . . . 8
1716oveq1d 6311 . . . . . . 7
18 rexadd 11460 . . . . . . . . 9
1918adantll 713 . . . . . . . 8
2019oveq2d 6312 . . . . . . 7
2114, 17, 203eqtr4d 2508 . . . . . 6
2221adantll 713 . . . . 5
23 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
24 simp1l 1020 . . . . . . . . . . 11
25 simp2l 1022 . . . . . . . . . . 11
26 xaddcl 11465 . . . . . . . . . . 11
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
28 xaddnemnf 11462 . . . . . . . . . . 11
29283adant3 1016 . . . . . . . . . 10
30 xaddpnf1 11454 . . . . . . . . . 10
3127, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3223, 31sylan9eqr 2520 . . . . . . . 8
33 xaddpnf1 11454 . . . . . . . . . 10
34333ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
3534adantr 465 . . . . . . . 8
3632, 35eqtr4d 2501 . . . . . . 7
37 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
38 xaddpnf1 11454 . . . . . . . . . 10
39383ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
4037, 39sylan9eqr 2520 . . . . . . . 8
4140oveq2d 6312 . . . . . . 7
4236, 41eqtr4d 2501 . . . . . 6
4342adantlr 714 . . . . 5
44 simp3 998 . . . . . . 7
45 xrnemnf 11357 . . . . . . 7
4644, 45sylib 196 . . . . . 6
4746adantr 465 . . . . 5
4822, 43, 47mpjaodan 786 . . . 4
4948anassrs 648 . . 3
50 xaddpnf2 11455 . . . . . . . 8
51503ad2ant3 1019 . . . . . . 7
5251, 34eqtr4d 2501 . . . . . 6
5352adantr 465 . . . . 5
54 oveq2 6304 . . . . . . 7
5554, 34sylan9eqr 2520 . . . . . 6
5655oveq1d 6311 . . . . 5
57 oveq1 6303 . . . . . . 7
5857, 51sylan9eqr 2520 . . . . . 6
5958oveq2d 6312 . . . . 5
6053, 56, 593eqtr4d 2508 . . . 4
62 simpl2 1000 . . . 4
63 xrnemnf 11357 . . . 4
6462, 63sylib 196 . . 3
6549, 61, 64mpjaodan 786 . 2
66 simpl3 1001 . . . . 5
6766, 50syl 16 . . . 4
68 simpl2l 1049 . . . . . 6
69 simpl3l 1051 . . . . . 6
70 xaddcl 11465 . . . . . 6
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . 5
72 simpl2 1000 . . . . . 6
73 xaddnemnf 11462 . . . . . 6
7472, 66, 73syl2anc 661 . . . . 5
75 xaddpnf2 11455 . . . . 5
7671, 74, 75syl2anc 661 . . . 4
7767, 76eqtr4d 2501 . . 3
78 simpr 461 . . . . . 6
7978oveq1d 6311 . . . . 5
80 xaddpnf2 11455 . . . . . 6
8172, 80syl 16 . . . . 5
8279, 81eqtrd 2498 . . . 4
8382oveq1d 6311 . . 3
8478oveq1d 6311 . . 3
8577, 83, 843eqtr4d 2508 . 2
86 simp1 996 . . 3
87 xrnemnf 11357 . . 3
8886, 87sylib 196 . 2
8965, 85, 88mpjaodan 786 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   cxad 11345 This theorem is referenced by:  xaddass2  11471  xpncan  11472  xadd4d  11524  xrs1mnd  18456  xlt2addrd  27578  xrge0addass  27678  xrge0npcan  27684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-addass 9578  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-xadd 11348
 Copyright terms: Public domain W3C validator