Theorem xaddass2 11471

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 11470 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddass2

Proof of Theorem xaddass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1020	. . . . . 6
2		xnegcl 11441	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4		simp1r 1021	. . . . . . 7
5		pnfxr 11350	. . . . . . . . 9
6		xneg11 11443	. . . . . . . . 9
7	1, 5, 6	sylancl 662	. . . . . . . 8
8	7	necon3bid 2715	. . . . . . 7
9	4, 8	mpbird 232	. . . . . 6
10		xnegpnf 11437	. . . . . . 7
11	10	a1i 11	. . . . . 6
12	9, 11	neeqtrd 2752	. . . . 5
13		simp2l 1022	. . . . . 6
14		xnegcl 11441	. . . . . 6
15	13, 14	syl 16	. . . . 5
16		simp2r 1023	. . . . . . 7
17		xneg11 11443	. . . . . . . . 9
18	13, 5, 17	sylancl 662	. . . . . . . 8
19	18	necon3bid 2715	. . . . . . 7
20	16, 19	mpbird 232	. . . . . 6
21	20, 11	neeqtrd 2752	. . . . 5
22		simp3l 1024	. . . . . 6
23		xnegcl 11441	. . . . . 6
24	22, 23	syl 16	. . . . 5
25		simp3r 1025	. . . . . . 7
26		xneg11 11443	. . . . . . . . 9
27	22, 5, 26	sylancl 662	. . . . . . . 8
28	27	necon3bid 2715	. . . . . . 7
29	25, 28	mpbird 232	. . . . . 6
30	29, 11	neeqtrd 2752	. . . . 5
31		xaddass 11470	. . . . 5
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1244	. . . 4
33		xnegdi 11469	. . . . . 6
34	1, 13, 33	syl2anc 661	. . . . 5
35	34	oveq1d 6311	. . . 4
36		xnegdi 11469	. . . . . 6
37	13, 22, 36	syl2anc 661	. . . . 5
38	37	oveq2d 6312	. . . 4
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2508	. . 3
40		xaddcl 11465	. . . . 5
41	1, 13, 40	syl2anc 661	. . . 4
42		xnegdi 11469	. . . 4
43	41, 22, 42	syl2anc 661	. . 3
44		xaddcl 11465	. . . . 5
45	13, 22, 44	syl2anc 661	. . . 4
46		xnegdi 11469	. . . 4
47	1, 45, 46	syl2anc 661	. . 3
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2508	. 2
49		xaddcl 11465	. . . 4
50	41, 22, 49	syl2anc 661	. . 3
51		xaddcl 11465	. . . 4
52	1, 45, 51	syl2anc 661	. . 3
53		xneg11 11443	. . 3
54	50, 52, 53	syl2anc 661	. 2
55	48, 54	mpbid 210	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  cxne 11344  cxad 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348