MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcom Unicode version

Theorem xaddcom 11466
Description: The extended real addition operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
xaddcom

Proof of Theorem xaddcom
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . 2
2 elxr 11354 . . . 4
3 recn 9603 . . . . . . 7
4 recn 9603 . . . . . . 7
5 addcom 9787 . . . . . . 7
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . 6
7 rexadd 11460 . . . . . 6
8 rexadd 11460 . . . . . . 7
98ancoms 453 . . . . . 6
106, 7, 93eqtr4d 2508 . . . . 5
11 oveq2 6304 . . . . . . 7
12 rexr 9660 . . . . . . . 8
13 renemnf 9663 . . . . . . . 8
14 xaddpnf1 11454 . . . . . . . 8
1512, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . 7
1611, 15sylan9eqr 2520 . . . . . 6
17 oveq1 6303 . . . . . . 7
18 xaddpnf2 11455 . . . . . . . 8
1912, 13, 18syl2anc 661 . . . . . . 7
2017, 19sylan9eqr 2520 . . . . . 6
2116, 20eqtr4d 2501 . . . . 5
22 oveq2 6304 . . . . . . 7
23 renepnf 9662 . . . . . . . 8
24 xaddmnf1 11456 . . . . . . . 8
2512, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . 7
2622, 25sylan9eqr 2520 . . . . . 6
27 oveq1 6303 . . . . . . 7
28 xaddmnf2 11457 . . . . . . . 8
2912, 23, 28syl2anc 661 . . . . . . 7
3027, 29sylan9eqr 2520 . . . . . 6
3126, 30eqtr4d 2501 . . . . 5
3210, 21, 313jaodan 1294 . . . 4
332, 32sylan2b 475 . . 3
34 pnfaddmnf 11458 . . . . . . . 8
35 mnfaddpnf 11459 . . . . . . . 8
3634, 35eqtr4i 2489 . . . . . . 7
37 simpr 461 . . . . . . . 8
3837oveq2d 6312 . . . . . . 7
3937oveq1d 6311 . . . . . . 7
4036, 38, 393eqtr4a 2524 . . . . . 6
41 xaddpnf2 11455 . . . . . . 7
42 xaddpnf1 11454 . . . . . . 7
4341, 42eqtr4d 2501 . . . . . 6
4440, 43pm2.61dane 2775 . . . . 5
4544adantl 466 . . . 4
46 simpl 457 . . . . 5
4746oveq1d 6311 . . . 4
4846oveq2d 6312 . . . 4
4945, 47, 483eqtr4d 2508 . . 3
5035, 34eqtr4i 2489 . . . . . . 7
51 simpr 461 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6312 . . . . . . 7
5351oveq1d 6311 . . . . . . 7
5450, 52, 533eqtr4a 2524 . . . . . 6
55 xaddmnf2 11457 . . . . . . 7
56 xaddmnf1 11456 . . . . . . 7
5755, 56eqtr4d 2501 . . . . . 6
5854, 57pm2.61dane 2775 . . . . 5
5958adantl 466 . . . 4
60 simpl 457 . . . . 5
6160oveq1d 6311 . . . 4
6260oveq2d 6312 . . . 4
6359, 61, 623eqtr4d 2508 . . 3
6433, 49, 633jaoian 1293 . 2
651, 64sylanb 472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   cxad 11345
This theorem is referenced by:  xaddid2  11468  xleadd2a  11475  xltadd2  11478  xposdif  11483  xadd4d  11524  hashunx  12454  xrsnsgrp  18454  xrs1cmn  18458  blcld  21008  xrsxmet  21314  metdstri  21355  vdgrf  24898  xaddeq0  27573  xlt2addrd  27578  xrge0npcan  27684  esumle  28065  esumlef  28070  measun  28182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator