MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi Unicode version

Theorem xadddi 11516
Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 11470, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like ( (2 1))= =/= (( 2) ( 1))=( )=0. In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi

Proof of Theorem xadddi
StepHypRef Expression
1 xadddilem 11515 . 2
2 simpl2 1000 . . . . . 6
3 simpl3 1001 . . . . . 6
4 xaddcl 11465 . . . . . 6
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5
6 xmul02 11489 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 0xr 9661 . . . . 5
9 xaddid1 11467 . . . . 5
108, 9ax-mp 5 . . . 4
117, 10syl6eqr 2516 . . 3
12 simpr 461 . . . 4
1312oveq1d 6311 . . 3
14 xmul02 11489 . . . . . 6
152, 14syl 16 . . . . 5
1612oveq1d 6311 . . . . 5
1715, 16eqtr3d 2500 . . . 4
18 xmul02 11489 . . . . . 6
193, 18syl 16 . . . . 5
2012oveq1d 6311 . . . . 5
2119, 20eqtr3d 2500 . . . 4
2217, 21oveq12d 6314 . . 3
2311, 13, 223eqtr3d 2506 . 2
24 simp1 996 . . . . . . 7
2524adantr 465 . . . . . 6
26 rexneg 11439 . . . . . . 7
27 renegcl 9905 . . . . . . 7
2826, 27eqeltrd 2545 . . . . . 6
2925, 28syl 16 . . . . 5
30 simpl2 1000 . . . . 5
31 simpl3 1001 . . . . 5
3224rexrd 9664 . . . . . . 7
33 xlt0neg1 11447 . . . . . . 7
3432, 33syl 16 . . . . . 6
3534biimpa 484 . . . . 5
36 xadddilem 11515 . . . . 5
3729, 30, 31, 35, 36syl31anc 1231 . . . 4
3832adantr 465 . . . . 5
3930, 31, 4syl2anc 661 . . . . 5
40 xmulneg1 11490 . . . . 5
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . 4
42 xmulneg1 11490 . . . . . . 7
4338, 30, 42syl2anc 661 . . . . . 6
44 xmulneg1 11490 . . . . . . 7
4538, 31, 44syl2anc 661 . . . . . 6
4643, 45oveq12d 6314 . . . . 5
47 xmulcl 11494 . . . . . . 7
4838, 30, 47syl2anc 661 . . . . . 6
49 xmulcl 11494 . . . . . . 7
5038, 31, 49syl2anc 661 . . . . . 6
51 xnegdi 11469 . . . . . 6
5248, 50, 51syl2anc 661 . . . . 5
5346, 52eqtr4d 2501 . . . 4
5437, 41, 533eqtr3d 2506 . . 3
55 xmulcl 11494 . . . . 5
5638, 39, 55syl2anc 661 . . . 4
57 xaddcl 11465 . . . . 5
5848, 50, 57syl2anc 661 . . . 4
59 xneg11 11443 . . . 4
6056, 58, 59syl2anc 661 . . 3
6154, 60mpbid 210 . 2
62 0re 9617 . . 3
63 lttri4 9690 . . 3
6462, 24, 63sylancr 663 . 2
651, 23, 61, 64mpjao3dan 1295 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   cxr 9648   clt 9649  -ucneg 9829   cxne 11344   cxad 11345   cxmu 11346
This theorem is referenced by:  xadddir  11517  xadddi2  11518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348  df-xmul 11349
  Copyright terms: Public domain W3C validator