Theorem xadddi2 11518

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 11516 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4
2		simp2l 1022	. . . . 5
3	2	ad2antrr 725	. . . 4
4		simp3l 1024	. . . . 5
5	4	ad2antrr 725	. . . 4
6		xadddi 11516	. . . 4
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1228	. . 3
8		pnfxr 11350	. . . . . 6
9	4	adantr 465	. . . . . . 7
10	9	adantr 465	. . . . . 6
11		xmulcl 11494	. . . . . 6
12	8, 10, 11	sylancr 663	. . . . 5
13	8, 9, 11	sylancr 663	. . . . . . 7
14		simpl3r 1052	. . . . . . . 8
15		0lepnf 11369	. . . . . . . . 9
16		xmulge0 11505	. . . . . . . . 9
17	8, 15, 16	mpanl12 682	. . . . . . . 8
18	9, 14, 17	syl2anc 661	. . . . . . 7
19		ge0nemnf 11403	. . . . . . 7
20	13, 18, 19	syl2anc 661	. . . . . 6
21	20	adantr 465	. . . . 5
22		xaddpnf2 11455	. . . . 5
23	12, 21, 22	syl2anc 661	. . . 4
24		oveq1 6303	. . . . . 6
25		oveq1 6303	. . . . . 6
26	24, 25	oveq12d 6314	. . . . 5
27		xmulpnf2 11496	. . . . . . 7
28	2, 27	sylan 471	. . . . . 6
29	28	oveq1d 6311	. . . . 5
30	26, 29	sylan9eqr 2520	. . . 4
31		oveq1 6303	. . . . 5
32		xaddcl 11465	. . . . . . . 8
33	2, 4, 32	syl2anc 661	. . . . . . 7
34	33	adantr 465	. . . . . 6
35		0xr 9661	. . . . . . . 8
36	35	a1i 11	. . . . . . 7
37	2	adantr 465	. . . . . . 7
38		simpr 461	. . . . . . 7
39		xaddid1 11467	. . . . . . . . 9
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . 8
41		xleadd2a 11475	. . . . . . . . 9
42	36, 9, 37, 14, 41	syl31anc 1231	. . . . . . . 8
43	40, 42	eqbrtrrd 4474	. . . . . . 7
44	36, 37, 34, 38, 43	xrltletrd 11393	. . . . . 6
45		xmulpnf2 11496	. . . . . 6
46	34, 44, 45	syl2anc 661	. . . . 5
47	31, 46	sylan9eqr 2520	. . . 4
48	23, 30, 47	3eqtr4rd 2509	. . 3
49		mnfxr 11352	. . . . . . 7
50		xmulcl 11494	. . . . . . 7
51	49, 9, 50	sylancr 663	. . . . . 6
52		xnegmnf 11438	. . . . . . . . . . . 12
53	52	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . 11
54		xmulneg1 11490	. . . . . . . . . . . 12
55	49, 9, 54	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11
56	53, 55	syl5reqr 2513	. . . . . . . . . 10
57		xnegpnf 11437	. . . . . . . . . . 11
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10
59	56, 58	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9
60		xneg11 11443	. . . . . . . . . 10
61	51, 8, 60	sylancl 662	. . . . . . . . 9
62	59, 61	bitr3d 255	. . . . . . . 8
63	62	necon3bid 2715	. . . . . . 7
64	20, 63	mpbid 210	. . . . . 6
65		xaddmnf2 11457	. . . . . 6
66	51, 64, 65	syl2anc 661	. . . . 5
67	66	adantr 465	. . . 4
68		oveq1 6303	. . . . . 6
69		oveq1 6303	. . . . . 6
70	68, 69	oveq12d 6314	. . . . 5
71		xmulmnf2 11498	. . . . . . 7
72	2, 71	sylan 471	. . . . . 6
73	72	oveq1d 6311	. . . . 5
74	70, 73	sylan9eqr 2520	. . . 4
75		oveq1 6303	. . . . 5
76		xmulmnf2 11498	. . . . . 6
77	34, 44, 76	syl2anc 661	. . . . 5
78	75, 77	sylan9eqr 2520	. . . 4
79	67, 74, 78	3eqtr4rd 2509	. . 3
80		simpl1 999	. . . 4
81		elxr 11354	. . . 4
82	80, 81	sylib 196	. . 3
83	7, 48, 79, 82	mpjao3dan 1295	. 2
84		simp1 996	. . . . . 6
85		xmulcl 11494	. . . . . 6
86	84, 4, 85	syl2anc 661	. . . . 5
87	86	adantr 465	. . . 4
88		xaddid2 11468	. . . 4
89	87, 88	syl 16	. . 3
90		oveq2 6304	. . . . . 6
91	90	eqcomd 2465	. . . . 5
92		xmul01 11488	. . . . . 6
93	92	3ad2ant1 1017	. . . . 5
94	91, 93	sylan9eqr 2520	. . . 4
95	94	oveq1d 6311	. . 3
96		oveq1 6303	. . . . . 6
97	96	eqcomd 2465	. . . . 5
98		xaddid2 11468	. . . . . 6
99	4, 98	syl 16	. . . . 5
100	97, 99	sylan9eqr 2520	. . . 4
101	100	oveq2d 6312	. . 3
102	89, 95, 101	3eqtr4rd 2509	. 2
103		simp2r 1023	. . 3
104		xrleloe 11379	. . . 4
105	35, 2, 104	sylancr 663	. . 3
106	103, 105	mpbid 210	. 2
107	83, 102, 106	mpjaodan 786	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cxne 11344  cxad 11345  cxmu 11346

This theorem is referenced by:  xadddi2r  11519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348  df-xmul 11349