MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddf Unicode version

Theorem xaddf 11452
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddf

Proof of Theorem xaddf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 9661 . . . . . 6
2 pnfxr 11350 . . . . . 6
31, 2keepel 4009 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 mnfxr 11352 . . . . . . 7
61, 5keepel 4009 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
82a1i 11 . . . . . . . 8
95a1i 11 . . . . . . . . 9
10 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . 14
11 elxr 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1311, 12sylbb 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1413ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
1710, 16sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . 13
18 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . 14
19 elxr 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2119, 20sylbb 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
2518, 24sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . 13
26 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . 13
2717, 25, 26syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
2827rexrd 9664 . . . . . . . . . . 11
2928anassrs 648 . . . . . . . . . 10
3029anassrs 648 . . . . . . . . 9
319, 30ifclda 3973 . . . . . . . 8
328, 31ifclda 3973 . . . . . . 7
3332an32s 804 . . . . . 6
3433anassrs 648 . . . . 5
357, 34ifclda 3973 . . . 4
364, 35ifclda 3973 . . 3
3736rgen2a 2884 . 2
38 df-xadd 11348 . . 3
3938fmpt2 6867 . 2
4037, 39mpbi 208 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  ifcif 3941  X.cxp 5002  -->wf 5589  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   cxad 11345
This theorem is referenced by:  xaddcl  11465  xrsadd  18435  xrofsup  27582  xrge0pluscn  27922  xrge0tmdOLD  27927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator