MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddval Unicode version

Theorem xaddval 11451
Description: Value of the extended real addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddval

Proof of Theorem xaddval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4
21eqeq1d 2459 . . 3
3 simpr 461 . . . . 5
43eqeq1d 2459 . . . 4
54ifbid 3963 . . 3
61eqeq1d 2459 . . . 4
73eqeq1d 2459 . . . . 5
87ifbid 3963 . . . 4
9 oveq12 6305 . . . . . 6
104, 9ifbieq2d 3966 . . . . 5
117, 10ifbieq2d 3966 . . . 4
126, 8, 11ifbieq12d 3968 . . 3
132, 5, 12ifbieq12d 3968 . 2
14 df-xadd 11348 . 2
15 c0ex 9611 . . . 4
16 pnfex 11351 . . . 4
1715, 16ifex 4010 . . 3
18 mnfxr 11352 . . . . . 6
1918elexi 3119 . . . . 5
2015, 19ifex 4010 . . . 4
21 ovex 6324 . . . . . 6
2219, 21ifex 4010 . . . . 5
2316, 22ifex 4010 . . . 4
2420, 23ifex 4010 . . 3
2517, 24ifex 4010 . 2
2613, 14, 25ovmpt2a 6433 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941  (class class class)co 6296  0cc0 9513   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   cxad 11345
This theorem is referenced by:  xaddpnf1  11454  xaddpnf2  11455  xaddmnf1  11456  xaddmnf2  11457  pnfaddmnf  11458  mnfaddpnf  11459  rexadd  11460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-i2m1 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator