Theorem xleadd1a 11474

Description: Extended real version of leadd1 10045; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example but ). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1a

Proof of Theorem xleadd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 762	. . . . . . 7
2		simpr 461	. . . . . . 7
3		simplrl 761	. . . . . . 7
4		simpllr 760	. . . . . . 7
5	1, 2, 3, 4	leadd1dd 10191	. . . . . 6
6		rexadd 11460	. . . . . . 7
7	1, 3, 6	syl2anc 661	. . . . . 6
8		rexadd 11460	. . . . . . 7
9	2, 3, 8	syl2anc 661	. . . . . 6
10	5, 7, 9	3brtr4d 4482	. . . . 5
11		simpl1 999	. . . . . . . . 9
12		simpl3 1001	. . . . . . . . 9
13		xaddcl 11465	. . . . . . . . 9
14	11, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . 8
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7
16		pnfge 11368	. . . . . . 7
17	15, 16	syl 16	. . . . . 6
18		oveq1 6303	. . . . . . 7
19		rexr 9660	. . . . . . . . 9
20		renemnf 9663	. . . . . . . . 9
21		xaddpnf2 11455	. . . . . . . . 9
22	19, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . . . 8
23	22	ad2antrl 727	. . . . . . 7
24	18, 23	sylan9eqr 2520	. . . . . 6
25	17, 24	breqtrrd 4478	. . . . 5
26	14	adantr 465	. . . . . . . 8
27		xrleid 11385	. . . . . . . 8
28	26, 27	syl 16	. . . . . . 7
29		simplr 755	. . . . . . . . 9
30		simpr 461	. . . . . . . . . 10
31	11	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
32		mnfle 11371	. . . . . . . . . . 11
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10
34	30, 33	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . 9
35		simpl2 1000	. . . . . . . . . . 11
36		xrletri3 11387	. . . . . . . . . . 11
37	11, 35, 36	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9
39	29, 34, 38	mpbir2and 922	. . . . . . . 8
40	39	oveq1d 6311	. . . . . . 7
41	28, 40	breqtrd 4476	. . . . . 6
42	41	adantlr 714	. . . . 5
43		elxr 11354	. . . . . . 7
44	35, 43	sylib 196	. . . . . 6
45	44	adantr 465	. . . . 5
46	10, 25, 42, 45	mpjao3dan 1295	. . . 4
47	46	anassrs 648	. . 3
48	14	adantr 465	. . . . . 6
49	48, 27	syl 16	. . . . 5
50		simplr 755	. . . . . . 7
51		pnfge 11368	. . . . . . . . . 10
52	35, 51	syl 16	. . . . . . . . 9
53	52	adantr 465	. . . . . . . 8
54		simpr 461	. . . . . . . 8
55	53, 54	breqtrrd 4478	. . . . . . 7
56	37	adantr 465	. . . . . . 7
57	50, 55, 56	mpbir2and 922	. . . . . 6
58	57	oveq1d 6311	. . . . 5
59	49, 58	breqtrd 4476	. . . 4
60	59	adantlr 714	. . 3
61		oveq1 6303	. . . . 5
62		renepnf 9662	. . . . . . 7
63		xaddmnf2 11457	. . . . . . 7
64	19, 62, 63	syl2anc 661	. . . . . 6
65	64	adantl 466	. . . . 5
66	61, 65	sylan9eqr 2520	. . . 4
67		xaddcl 11465	. . . . . . 7
68	35, 12, 67	syl2anc 661	. . . . . 6
69	68	ad2antrr 725	. . . . 5
70		mnfle 11371	. . . . 5
71	69, 70	syl 16	. . . 4
72	66, 71	eqbrtrd 4472	. . 3
73		elxr 11354	. . . . 5
74	11, 73	sylib 196	. . . 4
75	74	adantr 465	. . 3
76	47, 60, 72, 75	mpjao3dan 1295	. 2
77	41	adantlr 714	. . 3
78	14	ad2antrr 725	. . . . 5
79	78, 16	syl 16	. . . 4
80		simplr 755	. . . . . 6
81	80	oveq2d 6312	. . . . 5
82	35	adantr 465	. . . . . 6
83		xaddpnf1 11454	. . . . . 6
84	82, 83	sylan 471	. . . . 5
85	81, 84	eqtrd 2498	. . . 4
86	79, 85	breqtrrd 4478	. . 3
87	77, 86	pm2.61dane 2775	. 2
88	59	adantlr 714	. . 3
89		simplr 755	. . . . . 6
90	89	oveq2d 6312	. . . . 5
91	11	adantr 465	. . . . . 6
92		xaddmnf1 11456	. . . . . 6
93	91, 92	sylan 471	. . . . 5
94	90, 93	eqtrd 2498	. . . 4
95	68	ad2antrr 725	. . . . 5
96	95, 70	syl 16	. . . 4
97	94, 96	eqbrtrd 4472	. . 3
98	88, 97	pm2.61dane 2775	. 2
99		elxr 11354	. . 3
100	12, 99	sylib 196	. 2
101	76, 87, 98, 100	mpjao3dan 1295	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  caddc 9516  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  cle 9650  cxad 11345

This theorem is referenced by:  xleadd2a  11475  xleadd1  11476  xaddge0  11479  xle2add  11480  imasdsf1olem  20876  xblss2ps  20904  xblss2  20905  stdbdxmet  21018  xrge0omnd  27701  measunl  28187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-xadd 11348