MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Unicode version

Theorem xlesubadd 11484
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 10049 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . . 6
2 simpl2 1000 . . . . . . 7
3 xnegcl 11441 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 xaddcl 11465 . . . . . 6
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
8 simpll3 1037 . . . 4
9 simpr 461 . . . 4
10 xleadd1 11476 . . . 4
117, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . 3
12 xnpcan 11473 . . . . 5
131, 12sylan 471 . . . 4
1413breq1d 4462 . . 3
1511, 14bitrd 253 . 2
16 simpr3 1004 . . . . . . 7
17 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
18 pnfaddmnf 11458 . . . . . . . . 9
1917, 18syl6eq 2514 . . . . . . . 8
2019breq1d 4462 . . . . . . 7
2116, 20syl5ibrcom 222 . . . . . 6
22 xaddmnf1 11456 . . . . . . . . 9
2322ex 434 . . . . . . . 8
241, 23syl 16 . . . . . . 7
25 simpl3 1001 . . . . . . . . 9
26 mnfle 11371 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8
28 breq1 4455 . . . . . . . 8
2927, 28syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
3024, 29syld 44 . . . . . 6
3121, 30pm2.61dne 2774 . . . . 5
32 pnfge 11368 . . . . . . 7
331, 32syl 16 . . . . . 6
34 ge0nemnf 11403 . . . . . . . 8
3525, 16, 34syl2anc 661 . . . . . . 7
36 xaddpnf1 11454 . . . . . . 7
3725, 35, 36syl2anc 661 . . . . . 6
3833, 37breqtrrd 4478 . . . . 5
3931, 382thd 240 . . . 4
40 xnegeq 11435 . . . . . . . 8
41 xnegpnf 11437 . . . . . . . 8
4240, 41syl6eq 2514 . . . . . . 7
4342oveq2d 6312 . . . . . 6
4443breq1d 4462 . . . . 5
45 oveq2 6304 . . . . . 6
4645breq2d 4464 . . . . 5
4744, 46bibi12d 321 . . . 4
4839, 47syl5ibrcom 222 . . 3
4948imp 429 . 2
50 simpr2 1003 . . . 4
512, 50jca 532 . . 3
52 xrnemnf 11357 . . 3
5351, 52sylib 196 . 2
5415, 49, 53mpjaodan 786 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   cle 9650   cxne 11344   cxad 11345
This theorem is referenced by:  xmetrtri  20858  metdstri  21355  metdscnlem  21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator