MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlt2add Unicode version

Theorem xlt2add 11481
Description: Extended real version of lt2add 10062. Note that ltleadd 10060, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 1 fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt2add

Proof of Theorem xlt2add
StepHypRef Expression
1 xaddcl 11465 . . . . . . . 8
213ad2ant1 1017 . . . . . . 7
32adantr 465 . . . . . 6
4 simp1l 1020 . . . . . . . 8
5 simp2r 1023 . . . . . . . 8
6 xaddcl 11465 . . . . . . . 8
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7
87adantr 465 . . . . . 6
9 xaddcl 11465 . . . . . . . 8
1093ad2ant2 1018 . . . . . . 7
1110adantr 465 . . . . . 6
12 simp3r 1025 . . . . . . . 8
1312adantr 465 . . . . . . 7
14 simp1r 1021 . . . . . . . . 9
1514adantr 465 . . . . . . . 8
165adantr 465 . . . . . . . 8
17 simprl 756 . . . . . . . 8
18 xltadd2 11478 . . . . . . . 8
1915, 16, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . 7
2013, 19mpbid 210 . . . . . 6
21 simp3l 1024 . . . . . . . 8
2221adantr 465 . . . . . . 7
234adantr 465 . . . . . . . 8
24 simp2l 1022 . . . . . . . . 9
2524adantr 465 . . . . . . . 8
26 simprr 757 . . . . . . . 8
27 xltadd1 11477 . . . . . . . 8
2823, 25, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . 7
2922, 28mpbid 210 . . . . . 6
303, 8, 11, 20, 29xrlttrd 11391 . . . . 5
3130anassrs 648 . . . 4
32 pnfxr 11350 . . . . . . . . . . . 12
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11
34 pnfge 11368 . . . . . . . . . . . 12
3524, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11
364, 24, 33, 21, 35xrltletrd 11393 . . . . . . . . . 10
37 nltpnft 11396 . . . . . . . . . . . 12
3837necon2abid 2711 . . . . . . . . . . 11
394, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
4036, 39mpbid 210 . . . . . . . . 9
41 pnfge 11368 . . . . . . . . . . . 12
425, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11
4314, 5, 33, 12, 42xrltletrd 11393 . . . . . . . . . 10
44 nltpnft 11396 . . . . . . . . . . . 12
4544necon2abid 2711 . . . . . . . . . . 11
4614, 45syl 16 . . . . . . . . . 10
4743, 46mpbid 210 . . . . . . . . 9
48 xaddnepnf 11463 . . . . . . . . 9
494, 40, 14, 47, 48syl22anc 1229 . . . . . . . 8
50 nltpnft 11396 . . . . . . . . . 10
5150necon2abid 2711 . . . . . . . . 9
522, 51syl 16 . . . . . . . 8
5349, 52mpbird 232 . . . . . . 7
5453adantr 465 . . . . . 6
55 oveq2 6304 . . . . . . 7
56 mnfxr 11352 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
58 mnfle 11371 . . . . . . . . . . 11
594, 58syl 16 . . . . . . . . . 10
6057, 4, 24, 59, 21xrlelttrd 11392 . . . . . . . . 9
61 ngtmnft 11397 . . . . . . . . . . 11
6261necon2abid 2711 . . . . . . . . . 10
6324, 62syl 16 . . . . . . . . 9
6460, 63mpbid 210 . . . . . . . 8
65 xaddpnf1 11454 . . . . . . . 8
6624, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . 7
6755, 66sylan9eqr 2520 . . . . . 6
6854, 67breqtrrd 4478 . . . . 5
6968adantlr 714 . . . 4
70 mnfle 11371 . . . . . . . . . . 11
7114, 70syl 16 . . . . . . . . . 10
7257, 14, 5, 71, 12xrlelttrd 11392 . . . . . . . . 9
73 ngtmnft 11397 . . . . . . . . . . 11
7473necon2abid 2711 . . . . . . . . . 10
755, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7672, 75mpbid 210 . . . . . . . 8
7776a1d 25 . . . . . . 7
7877necon4bd 2679 . . . . . 6
7978imp 429 . . . . 5
8079adantlr 714 . . . 4
81 elxr 11354 . . . . . 6
825, 81sylib 196 . . . . 5
8382adantr 465 . . . 4
8431, 69, 80, 83mpjao3dan 1295 . . 3
8540a1d 25 . . . . 5
8685necon4bd 2679 . . . 4
8786imp 429 . . 3
88 oveq1 6303 . . . . 5
89 xaddmnf2 11457 . . . . . 6
9014, 47, 89syl2anc 661 . . . . 5
9188, 90sylan9eqr 2520 . . . 4
92 xaddnemnf 11462 . . . . . . 7
9324, 64, 5, 76, 92syl22anc 1229 . . . . . 6
94 ngtmnft 11397 . . . . . . . 8
9594necon2abid 2711 . . . . . . 7
9610, 95syl 16 . . . . . 6
9793, 96mpbird 232 . . . . 5
9897adantr 465 . . . 4
9991, 98eqbrtrd 4472 . . 3
100 elxr 11354 . . . 4
1014, 100sylib 196 . . 3
10284, 87, 99, 101mpjao3dan 1295 . 2
1031023expia 1198 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cxad 11345
This theorem is referenced by:  bldisj  20901  iscau3  21717  xrofsup  27582  xrge0addgt0  27681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator