Theorem xltnegi 11444

Description: Forward direction of xltneg 11445. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltnegi

Proof of Theorem xltnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 11354	. . 3
2		elxr 11354	. . . . . 6
3		ltneg 10077	. . . . . . . . 9
4		rexneg 11439	. . . . . . . . . 10
5		rexneg 11439	. . . . . . . . . 10
6	4, 5	breqan12rd 4468	. . . . . . . . 9
7	3, 6	bitr4d 256	. . . . . . . 8
8	7	biimpd 207	. . . . . . 7
9		xnegeq 11435	. . . . . . . . . . 11
10		xnegpnf 11437	. . . . . . . . . . 11
11	9, 10	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
12	11	adantl 466	. . . . . . . . 9
13		renegcl 9905	. . . . . . . . . . . 12
14	5, 13	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11
15		mnflt 11362	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10
17	16	adantr 465	. . . . . . . . 9
18	12, 17	eqbrtrd 4472	. . . . . . . 8
19	18	a1d 25	. . . . . . 7
20		simpr 461	. . . . . . . . 9
21	20	breq2d 4464	. . . . . . . 8
22		rexr 9660	. . . . . . . . . . 11
23		nltmnf 11367	. . . . . . . . . . 11
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10
25	24	adantr 465	. . . . . . . . 9
26	25	pm2.21d 106	. . . . . . . 8
27	21, 26	sylbid 215	. . . . . . 7
28	8, 19, 27	3jaodan 1294	. . . . . 6
29	2, 28	sylan2b 475	. . . . 5
30	29	expimpd 603	. . . 4
31		simpl 457	. . . . . . 7
32	31	breq1d 4462	. . . . . 6
33		pnfnlt 11366	. . . . . . . 8
34	33	adantl 466	. . . . . . 7
35	34	pm2.21d 106	. . . . . 6
36	32, 35	sylbid 215	. . . . 5
37	36	expimpd 603	. . . 4
38		breq1 4455	. . . . . 6
39	38	anbi2d 703	. . . . 5
40		renegcl 9905	. . . . . . . . . . 11
41	4, 40	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10
42	41	adantr 465	. . . . . . . . 9
43		ltpnf 11360	. . . . . . . . 9
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . 8
45	11	adantr 465	. . . . . . . . 9
46		mnfltpnf 11364	. . . . . . . . 9
47	45, 46	syl6eqbr 4489	. . . . . . . 8
48		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
49		mnfxr 11352	. . . . . . . . . . . 12
50		nltmnf 11367	. . . . . . . . . . . 12
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
52	51	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10
53	48, 52	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
54	53	imp 429	. . . . . . . 8
55	44, 47, 54	3jaoian 1293	. . . . . . 7
56	2, 55	sylanb 472	. . . . . 6
57		xnegeq 11435	. . . . . . . 8
58		xnegmnf 11438	. . . . . . . 8
59	57, 58	syl6eq 2514	. . . . . . 7
60	59	breq2d 4464	. . . . . 6
61	56, 60	syl5ibr 221	. . . . 5
62	39, 61	sylbid 215	. . . 4
63	30, 37, 62	3jaoi 1291	. . 3
64	1, 63	sylbi 195	. 2
65	64	3impib 1194	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  cr 9512  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  -ucneg 9829  cxne 11344

This theorem is referenced by:  xltneg  11445  xrsdsreclblem  18464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347