MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltnegi Unicode version

Theorem xltnegi 11444
Description: Forward direction of xltneg 11445. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . . 3
2 elxr 11354 . . . . . 6
3 ltneg 10077 . . . . . . . . 9
4 rexneg 11439 . . . . . . . . . 10
5 rexneg 11439 . . . . . . . . . 10
64, 5breqan12rd 4468 . . . . . . . . 9
73, 6bitr4d 256 . . . . . . . 8
87biimpd 207 . . . . . . 7
9 xnegeq 11435 . . . . . . . . . . 11
10 xnegpnf 11437 . . . . . . . . . . 11
119, 10syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
1211adantl 466 . . . . . . . . 9
13 renegcl 9905 . . . . . . . . . . . 12
145, 13eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11
15 mnflt 11362 . . . . . . . . . . 11
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10
1716adantr 465 . . . . . . . . 9
1812, 17eqbrtrd 4472 . . . . . . . 8
1918a1d 25 . . . . . . 7
20 simpr 461 . . . . . . . . 9
2120breq2d 4464 . . . . . . . 8
22 rexr 9660 . . . . . . . . . . 11
23 nltmnf 11367 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
2625pm2.21d 106 . . . . . . . 8
2721, 26sylbid 215 . . . . . . 7
288, 19, 273jaodan 1294 . . . . . 6
292, 28sylan2b 475 . . . . 5
3029expimpd 603 . . . 4
31 simpl 457 . . . . . . 7
3231breq1d 4462 . . . . . 6
33 pnfnlt 11366 . . . . . . . 8
3433adantl 466 . . . . . . 7
3534pm2.21d 106 . . . . . 6
3632, 35sylbid 215 . . . . 5
3736expimpd 603 . . . 4
38 breq1 4455 . . . . . 6
3938anbi2d 703 . . . . 5
40 renegcl 9905 . . . . . . . . . . 11
414, 40eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
4241adantr 465 . . . . . . . . 9
43 ltpnf 11360 . . . . . . . . 9
4442, 43syl 16 . . . . . . . 8
4511adantr 465 . . . . . . . . 9
46 mnfltpnf 11364 . . . . . . . . 9
4745, 46syl6eqbr 4489 . . . . . . . 8
48 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
49 mnfxr 11352 . . . . . . . . . . . 12
50 nltmnf 11367 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5251pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10
5348, 52syl6bi 228 . . . . . . . . 9
5453imp 429 . . . . . . . 8
5544, 47, 543jaoian 1293 . . . . . . 7
562, 55sylanb 472 . . . . . 6
57 xnegeq 11435 . . . . . . . 8
58 xnegmnf 11438 . . . . . . . 8
5957, 58syl6eq 2514 . . . . . . 7
6059breq2d 4464 . . . . . 6
6156, 60syl5ibr 221 . . . . 5
6239, 61sylbid 215 . . . 4
6330, 37, 623jaoi 1291 . . 3
641, 63sylbi 195 . 2
65643impib 1194 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649  -ucneg 9829   cxne 11344
This theorem is referenced by:  xltneg  11445  xrsdsreclblem  18464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347
  Copyright terms: Public domain W3C validator