Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulass Unicode version

Theorem xmulass 11508
 Description: Associativity of the extended real multiplication operation. Surprisingly, there are no restrictions on the values, unlike xaddass 11470 which has to avoid the "undefined" combinations and . The equivalent "undefined" expression here would be , but since this is defined to equal any zeroes in the expression make the whole thing evaluate to zero (on both sides), thus establishing the identity in this case. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulass

Proof of Theorem xmulass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . 4
21oveq1d 6311 . . 3
3 oveq1 6303 . . 3
42, 3eqeq12d 2479 . 2
5 oveq1 6303 . . . 4
65oveq1d 6311 . . 3
7 oveq1 6303 . . 3
86, 7eqeq12d 2479 . 2
9 xmulcl 11494 . . 3
10 xmulcl 11494 . . 3
119, 10stoic3 1609 . 2
12 simp1 996 . . 3
13 xmulcl 11494 . . . 4
15 xmulcl 11494 . . 3
1612, 14, 15syl2anc 661 . 2
17 oveq2 6304 . . . . 5
1817oveq1d 6311 . . . 4
19 oveq1 6303 . . . . 5
2019oveq2d 6312 . . . 4
2118, 20eqeq12d 2479 . . 3
22 oveq2 6304 . . . . 5
2322oveq1d 6311 . . . 4
24 oveq1 6303 . . . . 5
2524oveq2d 6312 . . . 4
2623, 25eqeq12d 2479 . . 3
27 simprl 756 . . . . 5
28 simpl2 1000 . . . . 5
29 xmulcl 11494 . . . . 5
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . 4
31 simpl3 1001 . . . 4
32 xmulcl 11494 . . . 4
3330, 31, 32syl2anc 661 . . 3
3414adantr 465 . . . 4
35 xmulcl 11494 . . . 4
3627, 34, 35syl2anc 661 . . 3
37 oveq2 6304 . . . . 5
38 oveq2 6304 . . . . . 6
3938oveq2d 6312 . . . . 5
4037, 39eqeq12d 2479 . . . 4
41 oveq2 6304 . . . . 5
42 oveq2 6304 . . . . . 6
4342oveq2d 6312 . . . . 5
4441, 43eqeq12d 2479 . . . 4
4527adantr 465 . . . . . 6
46 simprl 756 . . . . . 6
47 xmulcl 11494 . . . . . 6
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . 5
4931adantr 465 . . . . 5
50 xmulcl 11494 . . . . 5
5148, 49, 50syl2anc 661 . . . 4
52 xmulcl 11494 . . . . . 6
5346, 49, 52syl2anc 661 . . . . 5
54 xmulcl 11494 . . . . 5
5545, 53, 54syl2anc 661 . . . 4
56 xmulasslem3 11507 . . . . . 6
57563expa 1196 . . . . 5
5857adantlll 717 . . . 4
59 xmul01 11488 . . . . . . . 8
6048, 59syl 16 . . . . . . 7
61 xmul01 11488 . . . . . . . 8
6245, 61syl 16 . . . . . . 7
6360, 62eqtr4d 2501 . . . . . 6
64 xmul01 11488 . . . . . . . 8
6564ad2antrl 727 . . . . . . 7
6665oveq2d 6312 . . . . . 6
6763, 66eqtr4d 2501 . . . . 5
68 oveq2 6304 . . . . . 6
69 oveq2 6304 . . . . . . 7
7069oveq2d 6312 . . . . . 6
7168, 70eqeq12d 2479 . . . . 5
7267, 71syl5ibrcom 222 . . . 4
73 xmulneg2 11491 . . . . 5
7448, 49, 73syl2anc 661 . . . 4
75 xmulneg2 11491 . . . . . . 7
7646, 49, 75syl2anc 661 . . . . . 6
7776oveq2d 6312 . . . . 5
78 xmulneg2 11491 . . . . . 6
7945, 53, 78syl2anc 661 . . . . 5
8077, 79eqtrd 2498 . . . 4
8140, 44, 51, 55, 49, 58, 72, 74, 80xmulasslem 11506 . . 3
82 xmul02 11489 . . . . . . . 8
83823ad2ant3 1019 . . . . . . 7
8483adantr 465 . . . . . 6
8561ad2antrl 727 . . . . . 6
8684, 85eqtr4d 2501 . . . . 5
8785oveq1d 6311 . . . . 5
8884oveq2d 6312 . . . . 5
8986, 87, 883eqtr4d 2508 . . . 4
90 oveq2 6304 . . . . . 6
9190oveq1d 6311 . . . . 5
92 oveq1 6303 . . . . . 6
9392oveq2d 6312 . . . . 5
9491, 93eqeq12d 2479 . . . 4
9589, 94syl5ibrcom 222 . . 3
96 xmulneg2 11491 . . . . . 6
9727, 28, 96syl2anc 661 . . . . 5
9897oveq1d 6311 . . . 4
99 xmulneg1 11490 . . . . 5
10030, 31, 99syl2anc 661 . . . 4
10198, 100eqtrd 2498 . . 3
102 xmulneg1 11490 . . . . . 6
10328, 31, 102syl2anc 661 . . . . 5
104103oveq2d 6312 . . . 4
105 xmulneg2 11491 . . . . 5
10627, 34, 105syl2anc 661 . . . 4
107104, 106eqtrd 2498 . . 3
10821, 26, 33, 36, 28, 81, 95, 101, 107xmulasslem 11506 . 2
109 xmul02 11489 . . . . . 6
1101093ad2ant2 1018 . . . . 5
111110oveq1d 6311 . . . 4
112 xmul02 11489 . . . . 5
11314, 112syl 16 . . . 4
11483, 111, 1133eqtr4d 2508 . . 3
115 oveq1 6303 . . . . 5
116115oveq1d 6311 . . . 4
117 oveq1 6303 . . . 4
118116, 117eqeq12d 2479 . . 3
119114, 118syl5ibrcom 222 . 2
120 xmulneg1 11490 . . . . 5
1211203adant3 1016 . . . 4
122121oveq1d 6311 . . 3
123 xmulneg1 11490 . . . 4
1249, 123stoic3 1609 . . 3
125122, 124eqtrd 2498 . 2
126 xmulneg1 11490 . . 3
12712, 14, 126syl2anc 661 . 2
1284, 8, 11, 16, 12, 108, 119, 125, 127xmulasslem 11506 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cxr 9648   clt 9649   cxne 11344   cxmu 11346 This theorem is referenced by:  xlemul1  11511  xrsmcmn  18441  nmoi2  21237  xmulcand  27617  xreceu  27618  xdivrec  27623  xrge0slmod  27834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xmul 11349
 Copyright terms: Public domain W3C validator