Theorem xmulasslem3 11507

Description: Lemma for xmulass 11508. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem3

Proof of Theorem xmulasslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9603	. . . . . . . . . 10
2		recn 9603	. . . . . . . . . 10
3		recn 9603	. . . . . . . . . 10
4		mulass 9601	. . . . . . . . . 10
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1270	. . . . . . . . 9
6	5	3expa 1196	. . . . . . . 8
7		remulcl 9598	. . . . . . . . 9
8		rexmul 11492	. . . . . . . . 9
9	7, 8	sylan 471	. . . . . . . 8
10		remulcl 9598	. . . . . . . . . 10
11		rexmul 11492	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	sylan2 474	. . . . . . . . 9
13	12	anassrs 648	. . . . . . . 8
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2508	. . . . . . 7
15		rexmul 11492	. . . . . . . . 9
16	15	adantr 465	. . . . . . . 8
17	16	oveq1d 6311	. . . . . . 7
18		rexmul 11492	. . . . . . . . 9
19	18	adantll 713	. . . . . . . 8
20	19	oveq2d 6312	. . . . . . 7
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
22	21	adantll 713	. . . . 5
23		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
24		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11
25		simp2l 1022	. . . . . . . . . . 11
26		xmulcl 11494	. . . . . . . . . . 11
27	24, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
28		xmulgt0 11504	. . . . . . . . . . 11
29	28	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10
30		xmulpnf1 11495	. . . . . . . . . 10
31	27, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
32	23, 31	sylan9eqr 2520	. . . . . . . 8
33		simpl1 999	. . . . . . . . 9
34		xmulpnf1 11495	. . . . . . . . 9
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . 8
36	32, 35	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
37		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
38		xmulpnf1 11495	. . . . . . . . . 10
39	38	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9
40	37, 39	sylan9eqr 2520	. . . . . . . 8
41	40	oveq2d 6312	. . . . . . 7
42	36, 41	eqtr4d 2501	. . . . . 6
43	42	adantlr 714	. . . . 5
44		simpl3r 1052	. . . . . 6
45		xmulasslem2 11503	. . . . . 6
46	44, 45	sylan 471	. . . . 5
47		simp3l 1024	. . . . . . 7
48		elxr 11354	. . . . . . 7
49	47, 48	sylib 196	. . . . . 6
50	49	adantr 465	. . . . 5
51	22, 43, 46, 50	mpjao3dan 1295	. . . 4
52	51	anassrs 648	. . 3
53		xmulpnf2 11496	. . . . . . . 8
54	53	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7
55	34	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7
56	54, 55	eqtr4d 2501	. . . . . 6
57	56	adantr 465	. . . . 5
58		oveq2 6304	. . . . . . 7
59	58, 55	sylan9eqr 2520	. . . . . 6
60	59	oveq1d 6311	. . . . 5
61		oveq1 6303	. . . . . . 7
62	61, 54	sylan9eqr 2520	. . . . . 6
63	62	oveq2d 6312	. . . . 5
64	57, 60, 63	3eqtr4d 2508	. . . 4
65	64	adantlr 714	. . 3
66		simpl2r 1050	. . . 4
67		xmulasslem2 11503	. . . 4
68	66, 67	sylan 471	. . 3
69		elxr 11354	. . . . 5
70	25, 69	sylib 196	. . . 4
71	70	adantr 465	. . 3
72	52, 65, 68, 71	mpjao3dan 1295	. 2
73		simpl3 1001	. . . 4
74	73, 53	syl 16	. . 3
75		oveq1 6303	. . . . 5
76		xmulpnf2 11496	. . . . . 6
77	76	3ad2ant2 1018	. . . . 5
78	75, 77	sylan9eqr 2520	. . . 4
79	78	oveq1d 6311	. . 3
80		oveq1 6303	. . . 4
81		xmulcl 11494	. . . . . 6
82	25, 47, 81	syl2anc 661	. . . . 5
83		xmulgt0 11504	. . . . . 6
84	83	3adant1 1014	. . . . 5
85		xmulpnf2 11496	. . . . 5
86	82, 84, 85	syl2anc 661	. . . 4
87	80, 86	sylan9eqr 2520	. . 3
88	74, 79, 87	3eqtr4d 2508	. 2
89		simp1r 1021	. . 3
90		xmulasslem2 11503	. . 3
91	89, 90	sylan 471	. 2
92		elxr 11354	. . 3
93	24, 92	sylib 196	. 2
94	72, 88, 91, 93	mpjao3dan 1295	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cxmu 11346

This theorem is referenced by:  xmulass  11508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-xmul 11349