Theorem xmulcom 11487

Description: Extended real multiplication is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulcom

Proof of Theorem xmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmullem 11485	. . . . . . . . . 10
2	1	recnd 9643	. . . . . . . . 9
3		ancom 450	. . . . . . . . . . . . 13
4		orcom 387	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	notbii 296	. . . . . . . . . . . . 13
6	3, 5	anbi12i 697	. . . . . . . . . . . 12
7		orcom 387	. . . . . . . . . . . . 13
8	7	notbii 296	. . . . . . . . . . . 12
9	6, 8	anbi12i 697	. . . . . . . . . . 11
10		orcom 387	. . . . . . . . . . . 12
11	10	notbii 296	. . . . . . . . . . 11
12		xmullem 11485	. . . . . . . . . . 11
13	9, 11, 12	syl2anb 479	. . . . . . . . . 10
14	13	recnd 9643	. . . . . . . . 9
15	2, 14	mulcomd 9638	. . . . . . . 8
16	15	ifeq2da 3972	. . . . . . 7
17	10	a1i 11	. . . . . . . 8
18	17	ifbid 3963	. . . . . . 7
19	16, 18	eqtrd 2498	. . . . . 6
20	19	ifeq2da 3972	. . . . 5
21	7	a1i 11	. . . . . 6
22	21	ifbid 3963	. . . . 5
23	20, 22	eqtrd 2498	. . . 4
24	23	ifeq2da 3972	. . 3
25	4	a1i 11	. . . 4
26	25	ifbid 3963	. . 3
27	24, 26	eqtrd 2498	. 2
28		xmulval 11453	. 2
29		xmulval 11453	. . 3
30	29	ancoms 453	. 2
31	27, 28, 30	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cxmu 11346

This theorem is referenced by:  xmul02  11489  xmulneg2  11491  xmulpnf2  11496  xmulmnf2  11498  xmulid2  11501  xlemul2a  11510  xlemul2  11512  xltmul2  11514  xadddir  11517  xadddi2r  11519  xrsmcmn  18441  xmulcand  27617  xdivrec  27623  xrge0adddi  27683  xrmulc1cn  27912  esummulc2  28088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-xmul 11349