Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulval Unicode version

Theorem xmulval 11453
 Description: Value of the extended real multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulval

Proof of Theorem xmulval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5
21eqeq1d 2459 . . . 4
3 simpr 461 . . . . 5
43eqeq1d 2459 . . . 4
52, 4orbi12d 709 . . 3
63breq2d 4464 . . . . . . 7
71eqeq1d 2459 . . . . . . 7
86, 7anbi12d 710 . . . . . 6
93breq1d 4462 . . . . . . 7
101eqeq1d 2459 . . . . . . 7
119, 10anbi12d 710 . . . . . 6
128, 11orbi12d 709 . . . . 5
131breq2d 4464 . . . . . . 7
143eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1513, 14anbi12d 710 . . . . . 6
161breq1d 4462 . . . . . . 7
173eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1816, 17anbi12d 710 . . . . . 6
1915, 18orbi12d 709 . . . . 5
2012, 19orbi12d 709 . . . 4
216, 10anbi12d 710 . . . . . . 7
229, 7anbi12d 710 . . . . . . 7
2321, 22orbi12d 709 . . . . . 6
2413, 17anbi12d 710 . . . . . . 7
2516, 14anbi12d 710 . . . . . . 7
2624, 25orbi12d 709 . . . . . 6
2723, 26orbi12d 709 . . . . 5
28 oveq12 6305 . . . . 5
2927, 28ifbieq2d 3966 . . . 4
3020, 29ifbieq2d 3966 . . 3
315, 30ifbieq2d 3966 . 2
32 df-xmul 11349 . 2
33 c0ex 9611 . . 3
34 pnfex 11351 . . . 4
35 mnfxr 11352 . . . . . 6
3635elexi 3119 . . . . 5
37 ovex 6324 . . . . 5
3836, 37ifex 4010 . . . 4
3934, 38ifex 4010 . . 3
4033, 39ifex 4010 . 2
4131, 32, 40ovmpt2a 6433 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cmul 9518   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649   cxmu 11346 This theorem is referenced by:  xmulcom  11487  xmul01  11488  xmulneg1  11490  rexmul  11492  xmulpnf1  11495 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-i2m1 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-xmul 11349
 Copyright terms: Public domain W3C validator