Theorem xmulval 11453

Description: Value of the extended real multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulval

Proof of Theorem xmulval

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . 5
2	1	eqeq1d 2459	. . . 4
3		simpr 461	. . . . 5
4	3	eqeq1d 2459	. . . 4
5	2, 4	orbi12d 709	. . 3
6	3	breq2d 4464	. . . . . . 7
7	1	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
8	6, 7	anbi12d 710	. . . . . 6
9	3	breq1d 4462	. . . . . . 7
10	1	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
11	9, 10	anbi12d 710	. . . . . 6
12	8, 11	orbi12d 709	. . . . 5
13	1	breq2d 4464	. . . . . . 7
14	3	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
15	13, 14	anbi12d 710	. . . . . 6
16	1	breq1d 4462	. . . . . . 7
17	3	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
18	16, 17	anbi12d 710	. . . . . 6
19	15, 18	orbi12d 709	. . . . 5
20	12, 19	orbi12d 709	. . . 4
21	6, 10	anbi12d 710	. . . . . . 7
22	9, 7	anbi12d 710	. . . . . . 7
23	21, 22	orbi12d 709	. . . . . 6
24	13, 17	anbi12d 710	. . . . . . 7
25	16, 14	anbi12d 710	. . . . . . 7
26	24, 25	orbi12d 709	. . . . . 6
27	23, 26	orbi12d 709	. . . . 5
28		oveq12 6305	. . . . 5
29	27, 28	ifbieq2d 3966	. . . 4
30	20, 29	ifbieq2d 3966	. . 3
31	5, 30	ifbieq2d 3966	. 2
32		df-xmul 11349	. 2
33		c0ex 9611	. . 3
34		pnfex 11351	. . . 4
35		mnfxr 11352	. . . . . 6
36	35	elexi 3119	. . . . 5
37		ovex 6324	. . . . 5
38	36, 37	ifex 4010	. . . 4
39	34, 38	ifex 4010	. . 3
40	33, 39	ifex 4010	. 2
41	31, 32, 40	ovmpt2a 6433	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513  cmul 9518  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cxmu 11346

This theorem is referenced by:  xmulcom  11487  xmul01  11488  xmulneg1  11490  rexmul  11492  xmulpnf1  11495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-i2m1 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-xmul 11349