MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegdi Unicode version

Theorem xnegdi 11469
Description: Extended real version of xnegdi 11469. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegdi

Proof of Theorem xnegdi
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . 2
2 elxr 11354 . . . 4
3 recn 9603 . . . . . . . 8
4 recn 9603 . . . . . . . 8
5 negdi 9899 . . . . . . . 8
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . 7
7 readdcl 9596 . . . . . . . 8
8 rexneg 11439 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
10 renegcl 9905 . . . . . . . 8
11 renegcl 9905 . . . . . . . 8
12 rexadd 11460 . . . . . . . 8
1310, 11, 12syl2an 477 . . . . . . 7
146, 9, 133eqtr4d 2508 . . . . . 6
15 rexadd 11460 . . . . . . 7
16 xnegeq 11435 . . . . . . 7
1715, 16syl 16 . . . . . 6
18 rexneg 11439 . . . . . . 7
19 rexneg 11439 . . . . . . 7
2018, 19oveqan12d 6315 . . . . . 6
2114, 17, 203eqtr4d 2508 . . . . 5
22 xnegpnf 11437 . . . . . 6
23 oveq2 6304 . . . . . . . 8
24 rexr 9660 . . . . . . . . 9
25 renemnf 9663 . . . . . . . . 9
26 xaddpnf1 11454 . . . . . . . . 9
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8
2823, 27sylan9eqr 2520 . . . . . . 7
29 xnegeq 11435 . . . . . . 7
3028, 29syl 16 . . . . . 6
31 xnegeq 11435 . . . . . . . . 9
3231, 22syl6eq 2514 . . . . . . . 8
3332oveq2d 6312 . . . . . . 7
3418, 10eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
35 rexr 9660 . . . . . . . . 9
36 renepnf 9662 . . . . . . . . 9
37 xaddmnf1 11456 . . . . . . . . 9
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8
3934, 38syl 16 . . . . . . 7
4033, 39sylan9eqr 2520 . . . . . 6
4122, 30, 403eqtr4a 2524 . . . . 5
42 xnegmnf 11438 . . . . . 6
43 oveq2 6304 . . . . . . . 8
44 renepnf 9662 . . . . . . . . 9
45 xaddmnf1 11456 . . . . . . . . 9
4624, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8
4743, 46sylan9eqr 2520 . . . . . . 7
48 xnegeq 11435 . . . . . . 7
4947, 48syl 16 . . . . . 6
50 xnegeq 11435 . . . . . . . . 9
5150, 42syl6eq 2514 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6312 . . . . . . 7
53 renemnf 9663 . . . . . . . . 9
54 xaddpnf1 11454 . . . . . . . . 9
5535, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8
5634, 55syl 16 . . . . . . 7
5752, 56sylan9eqr 2520 . . . . . 6
5842, 49, 573eqtr4a 2524 . . . . 5
5921, 41, 583jaodan 1294 . . . 4
602, 59sylan2b 475 . . 3
61 xneg0 11440 . . . . . . 7
62 simpr 461 . . . . . . . . . 10
6362oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
64 pnfaddmnf 11458 . . . . . . . . 9
6563, 64syl6eq 2514 . . . . . . . 8
66 xnegeq 11435 . . . . . . . 8
6765, 66syl 16 . . . . . . 7
6851adantl 466 . . . . . . . . 9
6968oveq2d 6312 . . . . . . . 8
70 mnfaddpnf 11459 . . . . . . . 8
7169, 70syl6eq 2514 . . . . . . 7
7261, 67, 713eqtr4a 2524 . . . . . 6
73 xaddpnf2 11455 . . . . . . . 8
74 xnegeq 11435 . . . . . . . 8
7573, 74syl 16 . . . . . . 7
76 xnegcl 11441 . . . . . . . . 9
7776adantr 465 . . . . . . . 8
78 xnegeq 11435 . . . . . . . . . . . 12
7978, 22syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
80 xnegneg 11442 . . . . . . . . . . . 12
8180eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
8279, 81syl5ib 219 . . . . . . . . . 10
8382necon3d 2681 . . . . . . . . 9
8483imp 429 . . . . . . . 8
85 xaddmnf2 11457 . . . . . . . 8
8677, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . 7
8722, 75, 863eqtr4a 2524 . . . . . 6
8872, 87pm2.61dane 2775 . . . . 5
8988adantl 466 . . . 4
90 simpl 457 . . . . . 6
9190oveq1d 6311 . . . . 5
92 xnegeq 11435 . . . . 5
9391, 92syl 16 . . . 4
94 xnegeq 11435 . . . . . . 7
9594adantr 465 . . . . . 6
9695, 22syl6eq 2514 . . . . 5
9796oveq1d 6311 . . . 4
9889, 93, 973eqtr4d 2508 . . 3
99 simpr 461 . . . . . . . . . 10
10099oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
101100, 70syl6eq 2514 . . . . . . . 8
102 xnegeq 11435 . . . . . . . 8
103101, 102syl 16 . . . . . . 7
10432adantl 466 . . . . . . . . 9
105104oveq2d 6312 . . . . . . . 8
106105, 64syl6eq 2514 . . . . . . 7
10761, 103, 1063eqtr4a 2524 . . . . . 6
108 xaddmnf2 11457 . . . . . . . 8
109 xnegeq 11435 . . . . . . . 8
110108, 109syl 16 . . . . . . 7
11176adantr 465 . . . . . . . 8
112 xnegeq 11435 . . . . . . . . . . . 12
113112, 42syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
11480eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
115113, 114syl5ib 219 . . . . . . . . . 10
116115necon3d 2681 . . . . . . . . 9
117116imp 429 . . . . . . . 8
118 xaddpnf2 11455 . . . . . . . 8
119111, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . 7
12042, 110, 1193eqtr4a 2524 . . . . . 6
121107, 120pm2.61dane 2775 . . . . 5
122121adantl 466 . . . 4
123 simpl 457 . . . . . 6
124123oveq1d 6311 . . . . 5
125 xnegeq 11435 . . . . 5
126124, 125syl 16 . . . 4
127 xnegeq 11435 . . . . . . 7
128127adantr 465 . . . . . 6
129128, 42syl6eq 2514 . . . . 5
130129oveq1d 6311 . . . 4
131122, 126, 1303eqtr4d 2508 . . 3
13260, 98, 1313jaoian 1293 . 2
1331, 132sylanb 472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648  -ucneg 9829   cxne 11344   cxad 11345
This theorem is referenced by:  xaddass2  11471  xposdif  11483  xadddi  11516  xrsxmet  21314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator