MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xov1plusxeqvd Unicode version

Theorem xov1plusxeqvd 11695
Description: A complex number is positive real iff is in . Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xov1plusxeqvd.1
xov1plusxeqvd.2
Assertion
Ref Expression
xov1plusxeqvd

Proof of Theorem xov1plusxeqvd
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5
21rpred 11285 . . . 4
3 1rp 11253 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
54, 1rpaddcld 11300 . . . 4
62, 5rerpdivcld 11312 . . 3
75rprecred 11296 . . . . 5
8 1red 9632 . . . . 5
9 0red 9618 . . . . 5
108, 2readdcld 9644 . . . . . . . 8
118, 1ltaddrpd 11314 . . . . . . . 8
12 recgt1i 10467 . . . . . . . 8
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7
1413simprd 463 . . . . . 6
15 1m0e1 10671 . . . . . 6
1614, 15syl6breqr 4492 . . . . 5
177, 8, 9, 16ltsub13d 10183 . . . 4
18 1cnd 9633 . . . . . . . 8
19 xov1plusxeqvd.1 . . . . . . . 8
2018, 19addcld 9636 . . . . . . 7
2118negcld 9941 . . . . . . . . 9
22 xov1plusxeqvd.2 . . . . . . . . 9
2318, 19, 21, 22addneintrd 9808 . . . . . . . 8
24 1pneg1e0 10669 . . . . . . . . 9
2524a1i 11 . . . . . . . 8
2623, 25neeqtrd 2752 . . . . . . 7
2720, 18, 20, 26divsubdird 10384 . . . . . 6
2818, 19pncan2d 9956 . . . . . . 7
2928oveq1d 6311 . . . . . 6
3020, 26dividd 10343 . . . . . . 7
3130oveq1d 6311 . . . . . 6
3227, 29, 313eqtr3d 2506 . . . . 5
3332adantr 465 . . . 4
3417, 33breqtrrd 4478 . . 3
35 1m1e0 10629 . . . . . 6
3613simpld 459 . . . . . 6
3735, 36syl5eqbr 4485 . . . . 5
388, 8, 7, 37ltsub23d 10182 . . . 4
3933, 38eqbrtrd 4472 . . 3
40 0xr 9661 . . . 4
41 1re 9616 . . . . 5
4241rexri 9667 . . . 4
43 elioo2 11599 . . . 4
4440, 42, 43mp2an 672 . . 3
456, 34, 39, 44syl3anbrc 1180 . 2
4628adantr 465 . . . 4
4720adantr 465 . . . . . . 7
4826adantr 465 . . . . . . 7
4947, 48recrecd 10342 . . . . . 6
5020, 19, 20, 26divsubdird 10384 . . . . . . . . . . 11
5118, 19pncand 9955 . . . . . . . . . . . 12
5251oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
5330oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
5450, 52, 533eqtr3d 2506 . . . . . . . . . 10
5554adantr 465 . . . . . . . . 9
56 1red 9632 . . . . . . . . . 10
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
5857, 44sylib 196 . . . . . . . . . . 11
5958simp1d 1008 . . . . . . . . . 10
6056, 59resubcld 10012 . . . . . . . . 9
6155, 60eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
62 0red 9618 . . . . . . . . . 10
6358simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11
6463, 15syl6breqr 4492 . . . . . . . . . 10
6559, 56, 62, 64ltsub13d 10183 . . . . . . . . 9
6665, 55breqtrrd 4478 . . . . . . . 8
6761, 66elrpd 11283 . . . . . . 7
6867rprecred 11296 . . . . . 6
6949, 68eqeltrrd 2546 . . . . 5
7069, 56resubcld 10012 . . . 4
7146, 70eqeltrrd 2546 . . 3
72 1p0e1 10673 . . . . 5
7358simp2d 1009 . . . . . . . . . 10
7435, 73syl5eqbr 4485 . . . . . . . . 9
7556, 56, 59, 74ltsub23d 10182 . . . . . . . 8
7655, 75eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
7767reclt1d 11298 . . . . . . 7
7876, 77mpbid 210 . . . . . 6
7978, 49breqtrd 4476 . . . . 5
8072, 79syl5eqbr 4485 . . . 4
8162, 71, 56ltadd2d 9759 . . . 4
8280, 81mpbird 232 . . 3
8371, 82elrpd 11283 . 2
8445, 83impbida 832 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cxr 9648   clt 9649   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   crp 11249   cioo 11558
This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  23159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-rp 11250  df-ioo 11562
  Copyright terms: Public domain W3C validator