MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Unicode version

Theorem xp1st 6830
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5021 . 2
2 vex 3112 . . . . . . 7
3 vex 3112 . . . . . . 7
42, 3op1std 6810 . . . . . 6
54eleq1d 2526 . . . . 5
65biimpar 485 . . . 4
76adantrr 716 . . 3
87exlimivv 1723 . 2
91, 8sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  <.cop 4035  X.cxp 5002  `cfv 5593   c1st 6798
This theorem is referenced by:  el2xptp0  6844  offval22  6879  xpf1o  7699  xpmapenlem  7704  mapunen  7706  unxpwdom2  8035  r0weon  8411  infxpenlem  8412  fseqdom  8428  iundom2g  8936  enqbreq2  9319  nqereu  9328  addpqf  9343  mulpqf  9345  adderpqlem  9353  mulerpqlem  9354  addassnq  9357  mulassnq  9358  distrnq  9360  mulidnq  9362  recmulnq  9363  ltsonq  9368  lterpq  9369  ltanq  9370  ltmnq  9371  ltexnq  9374  archnq  9379  elreal2  9530  cnref1o  11244  fsum2dlem  13585  fsumcom2  13589  ackbijnn  13640  fprod2dlem  13784  fprodcom2  13788  ruclem6  13968  ruclem8  13970  ruclem9  13971  ruclem10  13972  ruclem11  13973  ruclem12  13974  eucalgval  14211  eucalginv  14213  eucalglt  14214  eucalg  14216  xpsff1o  14965  comfffval2  15096  comfeq  15101  idfucl  15250  funcpropd  15269  fucpropd  15346  xpccatid  15457  1stfcl  15466  2ndfcl  15467  xpcpropd  15477  hofcl  15528  hofpropd  15536  yonedalem3  15549  lsmhash  16723  gsum2dlem2  16998  gsum2dOLD  17000  evlslem4OLD  18173  evlslem4  18174  mdetunilem9  19122  tx2cn  20111  txdis  20133  txlly  20137  txnlly  20138  txhaus  20148  txkgen  20153  txcon  20190  txhmeo  20304  ptuncnv  20308  ptunhmeo  20309  xkohmeo  20316  utop2nei  20753  utop3cls  20754  imasdsf1olem  20876  cnheiborlem  21454  caubl  21746  caublcls  21747  bcthlem2  21764  bcthlem4  21766  bcthlem5  21767  ovolficcss  21881  ovoliunlem1  21913  ovoliunlem2  21914  ovolicc2lem1  21928  ovolicc2lem2  21929  ovolicc2lem4  21931  ovolicc2lem5  21932  dyadmbl  22009  fsumvma  23488  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  disjxpin  27447  fimaproj  27836  cnre2csqima  27893  tpr2rico  27894  2ndmbfm  28232  sxbrsigalem0  28242  dya2iocnrect  28252  sibfof  28282  msubff  28890  msubco  28891  mpst123  28900  msubvrs  28920  funtransport  29681  finixpnum  30038  heicant  30049  mblfinlem1  30051  mblfinlem2  30052  ftc2nc  30099  filnetlem3  30198  heiborlem8  30314  rmxypairf1o  30847  frmx  30849  dvnprodlem1  31743  dvnprodlem2  31744  etransclem44  32061  etransclem45  32062  etransclem47  32064  dvhb1dimN  36712  dvhvaddcl  36822  dvhvaddcomN  36823  dvhvscacl  36830  dvhgrp  36834  dvhlveclem  36835  dibelval1st  36876  dicelval1stN  36915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-1st 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator