MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcan2 Unicode version

Theorem xpcan2 5449
Description: Cancellation law for Cartesian product. (Contributed by NM, 30-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
xpcan2

Proof of Theorem xpcan2
StepHypRef Expression
1 xp11 5447 . . 3
2 eqid 2457 . . . 4
32biantru 505 . . 3
41, 3syl6bbr 263 . 2
5 nne 2658 . . 3
6 simpl 457 . . . . 5
7 xpeq1 5018 . . . . . . . . . 10
8 0xp 5085 . . . . . . . . . 10
97, 8syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
109eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
11 eqcom 2466 . . . . . . . 8
1210, 11syl6bb 261 . . . . . . 7
1312adantr 465 . . . . . 6
14 df-ne 2654 . . . . . . . 8
15 xpeq0 5432 . . . . . . . . 9
16 orel2 383 . . . . . . . . 9
1715, 16syl5bi 217 . . . . . . . 8
1814, 17sylbi 195 . . . . . . 7
1918adantl 466 . . . . . 6
2013, 19sylbid 215 . . . . 5
21 eqtr3 2485 . . . . 5
226, 20, 21syl6an 545 . . . 4
23 xpeq1 5018 . . . 4
2422, 23impbid1 203 . . 3
255, 24sylanb 472 . 2
264, 25pm2.61ian 790 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  =/=wne 2652   c0 3784  X.cxp 5002
This theorem is referenced by:  vcoprnelem  25471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015
  Copyright terms: Public domain W3C validator