MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcomco Unicode version

Theorem xpcomco 7627
Description: Composition with the bijection of xpcomf1o 7626 swaps the arguments to a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcomf1o.1
xpcomco.1
Assertion
Ref Expression
xpcomco
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , ,

Proof of Theorem xpcomco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpcomf1o.1 . . . . . . . . . 10
21xpcomf1o 7626 . . . . . . . . 9
3 f1ofun 5823 . . . . . . . . 9
4 funbrfv2b 5917 . . . . . . . . 9
52, 3, 4mp2b 10 . . . . . . . 8
6 ancom 450 . . . . . . . 8
7 eqcom 2466 . . . . . . . . 9
8 f1odm 5825 . . . . . . . . . . 11
92, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
109eleq2i 2535 . . . . . . . . 9
117, 10anbi12i 697 . . . . . . . 8
125, 6, 113bitri 271 . . . . . . 7
1312anbi1i 695 . . . . . 6
14 anass 649 . . . . . 6
1513, 14bitri 249 . . . . 5
1615exbii 1667 . . . 4
17 fvex 5881 . . . . 5
18 breq1 4455 . . . . . 6
1918anbi2d 703 . . . . 5
2017, 19ceqsexv 3146 . . . 4
21 elxp 5021 . . . . . 6
2221anbi1i 695 . . . . 5
23 nfcv 2619 . . . . . . 7
24 xpcomco.1 . . . . . . . 8
25 nfmpt22 6365 . . . . . . . 8
2624, 25nfcxfr 2617 . . . . . . 7
27 nfcv 2619 . . . . . . 7
2823, 26, 27nfbr 4496 . . . . . 6
292819.41 1971 . . . . 5
30 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
31 nfmpt21 6364 . . . . . . . . . 10
3224, 31nfcxfr 2617 . . . . . . . . 9
33 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
3430, 32, 33nfbr 4496 . . . . . . . 8
353419.41 1971 . . . . . . 7
36 anass 649 . . . . . . . . 9
37 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
38 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4039cnveqd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 opswap 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4341, 42syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 opex 4716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4543, 1, 44fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15
4638, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4737, 46sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . 13
4847breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
49 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 df-mpt2 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5124, 50eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 oprabid 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5449, 52, 533bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554baib 903 . . . . . . . . . . . . . 14
5655ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
5848, 57bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
5958pm5.32da 641 . . . . . . . . . 10
6059pm5.32i 637 . . . . . . . . 9
6136, 60bitri 249 . . . . . . . 8
6261exbii 1667 . . . . . . 7
6335, 62bitr3i 251 . . . . . 6
6463exbii 1667 . . . . 5
6522, 29, 643bitr2i 273 . . . 4
6616, 20, 653bitri 271 . . 3
6766opabbii 4516 . 2
68 df-co 5013 . 2
69 df-mpt2 6301 . . 3
70 dfoprab2 6343 . . 3
7169, 70eqtri 2486 . 2
7267, 68, 713eqtr4i 2496 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  {coprab 6297  e.cmpt2 6298
This theorem is referenced by:  omf1o  7640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator