Theorem xpdifid 5440

Description: The set of distinct couples in a Cartesian product. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
xpdifid

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem xpdifid

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5021	. . . . 5
2	1	rexbii 2959	. . . 4
3		rexcom4 3129	. . . 4
4		rexcom4 3129	. . . . 5
5	4	exbii 1667	. . . 4
6	2, 3, 5	3bitri 271	. . 3
7		eliun 4335	. . 3
8		eldif 3485	. . . . . . 7
9		opelxp 5034	. . . . . . . 8
10		df-br 4453	. . . . . . . . . 10
11		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
12	11	ideq 5160	. . . . . . . . . 10
13	10, 12	bitr3i 251	. . . . . . . . 9
14	13	necon3bbii 2718	. . . . . . . 8
15	9, 14	anbi12i 697	. . . . . . 7
16	8, 15	bitri 249	. . . . . 6
17	16	anbi2i 694	. . . . 5
18	17	2exbii 1668	. . . 4
19		eldifi 3625	. . . . . . . . 9
20		elxpi 5020	. . . . . . . . 9
21		simpl 457	. . . . . . . . . 10
22	21	2eximi 1657	. . . . . . . . 9
23	19, 20, 22	3syl 20	. . . . . . . 8
24	23	ancli 551	. . . . . . 7
25		19.42vv 1777	. . . . . . 7
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . 6
27		ancom 450	. . . . . . . 8
28		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
29	28	adantl 466	. . . . . . . . 9
30	29	pm5.32da 641	. . . . . . . 8
31	27, 30	syl5bb 257	. . . . . . 7
32	31	2exbidv 1716	. . . . . 6
33	26, 32	mpbid 210	. . . . 5
34	28	biimpar 485	. . . . . 6
35	34	exlimivv 1723	. . . . 5
36	33, 35	impbii 188	. . . 4
37		r19.42v 3012	. . . . . 6
38		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13
39		elsn 4043	. . . . . . . . . . . . 13
40	38, 39	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
41		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12
42	40, 41	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11
43		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
44	43	eldifad 3487	. . . . . . . . . . 11
45	43	eldifbd 3488	. . . . . . . . . . . . . 14
46		elsn 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	46	necon3bbii 2718	. . . . . . . . . . . . . 14
48	45, 47	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
49	48	necomd 2728	. . . . . . . . . . . 12
50	40, 49	eqnetrd 2750	. . . . . . . . . . 11
51	42, 44, 50	jca31 534	. . . . . . . . . 10
52	51	adantll 713	. . . . . . . . 9
53		sneq 4039	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12
55	53	difeq2d 3621	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12
57	54, 56	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
58	57	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . 10
59	58	biimpi 194	. . . . . . . . 9
60	52, 59	r19.29a 2999	. . . . . . . 8
61		simpll 753	. . . . . . . . 9
62		ssnid 4058	. . . . . . . . . 10
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9
64		simplr 755	. . . . . . . . . 10
65		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
66	65	necomd 2728	. . . . . . . . . . 11
67		elsn 4043	. . . . . . . . . . . 12
68	67	necon3bbii 2718	. . . . . . . . . . 11
69	66, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
70	64, 69	eldifd 3486	. . . . . . . . 9
71		sneq 4039	. . . . . . . . . . . 12
72	71	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11
73	71	difeq2d 3621	. . . . . . . . . . . 12
74	73	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11
75	72, 74	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
76	75	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
77	61, 63, 70, 76	syl12anc 1226	. . . . . . . 8
78	60, 77	impbii 188	. . . . . . 7
79	78	anbi2i 694	. . . . . 6
80	37, 79	bitri 249	. . . . 5
81	80	2exbii 1668	. . . 4
82	18, 36, 81	3bitr4i 277	. . 3
83	6, 7, 82	3bitr4i 277	. 2
84	83	eqriv 2453	1

Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  \cdif 3472  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  cid 4795  X.cxp 5002

This theorem is referenced by:  tglnfn  23934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011