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Theorem xpdifid 5440
Description: The set of distinct couples in a Cartesian product. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpdifid
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem xpdifid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5021 . . . . 5
21rexbii 2959 . . . 4
3 rexcom4 3129 . . . 4
4 rexcom4 3129 . . . . 5
54exbii 1667 . . . 4
62, 3, 53bitri 271 . . 3
7 eliun 4335 . . 3
8 eldif 3485 . . . . . . 7
9 opelxp 5034 . . . . . . . 8
10 df-br 4453 . . . . . . . . . 10
11 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1211ideq 5160 . . . . . . . . . 10
1310, 12bitr3i 251 . . . . . . . . 9
1413necon3bbii 2718 . . . . . . . 8
159, 14anbi12i 697 . . . . . . 7
168, 15bitri 249 . . . . . 6
1716anbi2i 694 . . . . 5
18172exbii 1668 . . . 4
19 eldifi 3625 . . . . . . . . 9
20 elxpi 5020 . . . . . . . . 9
21 simpl 457 . . . . . . . . . 10
22212eximi 1657 . . . . . . . . 9
2319, 20, 223syl 20 . . . . . . . 8
2423ancli 551 . . . . . . 7
25 19.42vv 1777 . . . . . . 7
2624, 25sylibr 212 . . . . . 6
27 ancom 450 . . . . . . . 8
28 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
2928adantl 466 . . . . . . . . 9
3029pm5.32da 641 . . . . . . . 8
3127, 30syl5bb 257 . . . . . . 7
32312exbidv 1716 . . . . . 6
3326, 32mpbid 210 . . . . 5
3428biimpar 485 . . . . . 6
3534exlimivv 1723 . . . . 5
3633, 35impbii 188 . . . 4
37 r19.42v 3012 . . . . . 6
38 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
39 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11
43 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
4443eldifad 3487 . . . . . . . . . . 11
4543eldifbd 3488 . . . . . . . . . . . . . 14
46 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746necon3bbii 2718 . . . . . . . . . . . . . 14
4845, 47sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
4948necomd 2728 . . . . . . . . . . . 12
5040, 49eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . 11
5142, 44, 50jca31 534 . . . . . . . . . 10
5251adantll 713 . . . . . . . . 9
53 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . 13
5453eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
5553difeq2d 3621 . . . . . . . . . . . . 13
5655eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
5754, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
5857cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
5958biimpi 194 . . . . . . . . 9
6052, 59r19.29a 2999 . . . . . . . 8
61 simpll 753 . . . . . . . . 9
62 ssnid 4058 . . . . . . . . . 10
6362a1i 11 . . . . . . . . 9
64 simplr 755 . . . . . . . . . 10
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
6665necomd 2728 . . . . . . . . . . 11
67 elsn 4043 . . . . . . . . . . . 12
6867necon3bbii 2718 . . . . . . . . . . 11
6966, 68sylibr 212 . . . . . . . . . 10
7064, 69eldifd 3486 . . . . . . . . 9
71 sneq 4039 . . . . . . . . . . . 12
7271eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
7371difeq2d 3621 . . . . . . . . . . . 12
7473eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
7675rspcev 3210 . . . . . . . . 9
7761, 63, 70, 76syl12anc 1226 . . . . . . . 8
7860, 77impbii 188 . . . . . . 7
7978anbi2i 694 . . . . . 6
8037, 79bitri 249 . . . . 5
81802exbii 1668 . . . 4
8218, 36, 813bitr4i 277 . . 3
836, 7, 823bitr4i 277 . 2
8483eqriv 2453 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  \cdif 3472  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452   cid 4795  X.cxp 5002
This theorem is referenced by:  tglnfn  23934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011
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