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Theorem xpdom2 7632
Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xpdom.2
Assertion
Ref Expression
xpdom2

Proof of Theorem xpdom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7547 . 2
2 f1f 5786 . . . . . . . 8
3 ffvelrn 6029 . . . . . . . . 9
43ex 434 . . . . . . . 8
52, 4syl 16 . . . . . . 7
65anim2d 565 . . . . . 6
76adantld 467 . . . . 5
8 elxp4 6744 . . . . 5
9 opelxp 5034 . . . . 5
107, 8, 93imtr4g 270 . . . 4
1110adantl 466 . . 3
12 elxp2 5022 . . . . . 6
13 elxp2 5022 . . . . . 6
14 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1614, 15opth 4726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17 f1fveq 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1817ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2016, 19syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
25 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625dmeqd 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2914, 28op1sta 5495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3027, 29syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
3125rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3231unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3314, 28op2nda 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
3630, 35opeq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14
37 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837dmeqd 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41op1sta 5495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4339, 42syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
4437rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4640, 41op2nda 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
4943, 48opeq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14
5036, 49eqeqan12d 2480 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
52 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . . 14
5314, 28opth 4726 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
5624, 51, 553bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11
5756exp53 617 . . . . . . . . . 10
5857com23 78 . . . . . . . . 9
5958rexlimivv 2954 . . . . . . . 8
6059rexlimdvv 2955 . . . . . . 7
6160imp 429 . . . . . 6
6212, 13, 61syl2anb 479 . . . . 5
6362com12 31 . . . 4
6463adantl 466 . . 3
65 xpdom.2 . . . . 5
66 reldom 7542 . . . . . 6
6766brrelexi 5045 . . . . 5
68 xpexg 6602 . . . . 5
6965, 67, 68sylancr 663 . . . 4
7069adantr 465 . . 3
7166brrelex2i 5046 . . . . 5
72 xpexg 6602 . . . . 5
7365, 71, 72sylancr 663 . . . 4
7473adantr 465 . . 3
7511, 64, 70, 74dom3d 7577 . 2
761, 75exlimddv 1726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593   cdom 7534
This theorem is referenced by:  xpdom2g  7633  infxpenlem  8412  cfpwsdom  8980  inar1  9174  rexpen  13961  2ndcctbss  19956  tx1stc  20151  tx2ndc  20152  met2ndci  21025  mbfimaopnlem  22062  xpct  27533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601  df-dom 7538
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