Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpen Unicode version

Theorem xpen 7700
 Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpen

Proof of Theorem xpen
StepHypRef Expression
1 relen 7541 . . . . 5
21brrelexi 5045 . . . 4
3 endom 7562 . . . 4
4 xpdom1g 7634 . . . 4
52, 3, 4syl2anr 478 . . 3
61brrelex2i 5046 . . . 4
7 endom 7562 . . . 4
8 xpdom2g 7633 . . . 4
96, 7, 8syl2an 477 . . 3
10 domtr 7588 . . 3
115, 9, 10syl2anc 661 . 2
121brrelex2i 5046 . . . 4
13 ensym 7584 . . . . 5
14 endom 7562 . . . . 5
1513, 14syl 16 . . . 4
16 xpdom1g 7634 . . . 4
1712, 15, 16syl2anr 478 . . 3
181brrelexi 5045 . . . 4
19 ensym 7584 . . . . 5
20 endom 7562 . . . . 5
2119, 20syl 16 . . . 4
22 xpdom2g 7633 . . . 4
2318, 21, 22syl2an 477 . . 3
24 domtr 7588 . . 3
2517, 23, 24syl2anc 661 . 2
26 sbth 7657 . 2
2711, 25, 26syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818   cvv 3109   class class class wbr 4452  X.cxp 5002   cen 7533   cdom 7534 This theorem is referenced by:  map2xp  7707  unxpdom2  7748  sucxpdom  7749  xpnum  8353  infxpenlem  8412  infxpidm2  8415  xpcdaen  8584  mapcdaen  8585  pwcdaen  8586  cdaxpdom  8590  ackbij1lem5  8625  canthp1lem1  9051  xpnnen  13942  xpomenOLD  13944  qnnen  13947  rexpen  13961  met2ndci  21025  re2ndc  21306  dyadmbl  22009  opnmblALT  22012  mbfimaopnlem  22062  mblfinlem1  30051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538
 Copyright terms: Public domain W3C validator