Theorem xpexr 6740

Description: If a Cartesian product is a set, one of its components must be a set. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpexr

Proof of Theorem xpexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4582	. . . . . 6
2		eleq1 2529	. . . . . 6
3	1, 2	mpbiri 233	. . . . 5
4	3	pm2.24d 143	. . . 4
5	4	a1d 25	. . 3
6		rnexg 6732	. . . . 5
7		rnxp 5442	. . . . . 6
8	7	eleq1d 2526	. . . . 5
9	6, 8	syl5ib 219	. . . 4
10	9	a1dd 46	. . 3
11	5, 10	pm2.61ine 2770	. 2
12	11	orrd 378	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  c0 3784  X.cxp 5002  rancrn 5005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015