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Theorem xpf1o 7699
Description: Construct a bijection on a Cartesian product given bijections on the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpf1o.1
xpf1o.2
Assertion
Ref Expression
xpf1o
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem xpf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 6830 . . . . . 6
21adantl 466 . . . . 5
3 xpf1o.1 . . . . . . . 8
4 eqid 2457 . . . . . . . . 9
54f1ompt 6053 . . . . . . . 8
63, 5sylib 196 . . . . . . 7
76simpld 459 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
9 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
109nfel1 2635 . . . . . 6
11 csbeq1a 3443 . . . . . . 7
1211eleq1d 2526 . . . . . 6
1310, 12rspc 3204 . . . . 5
142, 8, 13sylc 60 . . . 4
15 xp2nd 6831 . . . . . 6
1615adantl 466 . . . . 5
17 xpf1o.2 . . . . . . . 8
18 eqid 2457 . . . . . . . . 9
1918f1ompt 6053 . . . . . . . 8
2017, 19sylib 196 . . . . . . 7
2120simpld 459 . . . . . 6
2221adantr 465 . . . . 5
23 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
2423nfel1 2635 . . . . . 6
25 csbeq1a 3443 . . . . . . 7
2625eleq1d 2526 . . . . . 6
2724, 26rspc 3204 . . . . 5
2816, 22, 27sylc 60 . . . 4
29 opelxpi 5036 . . . 4
3014, 28, 29syl2anc 661 . . 3
3130ralrimiva 2871 . 2
326simprd 463 . . . . . . . . . 10
3332r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9
34 reu6 3288 . . . . . . . . 9
3533, 34sylib 196 . . . . . . . 8
3620simprd 463 . . . . . . . . . 10
3736r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9
38 reu6 3288 . . . . . . . . 9
3937, 38sylib 196 . . . . . . . 8
4035, 39anim12dan 837 . . . . . . 7
41 reeanv 3025 . . . . . . . 8
42 pm4.38 872 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
4443ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . 13
4544com12 31 . . . . . . . . . . . 12
4645ralimdv 2867 . . . . . . . . . . 11
4746impcom 430 . . . . . . . . . 10
4847reximi 2925 . . . . . . . . 9
4948reximi 2925 . . . . . . . 8
5041, 49sylbir 213 . . . . . . 7
5140, 50syl 16 . . . . . 6
52 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53op1std 6810 . . . . . . . . . . . . . 14
5554csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . . 13
5655eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
5752, 53op2ndd 6811 . . . . . . . . . . . . . 14
5857csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . . 13
5958eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
6056, 59anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
61 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
6260, 61bibi12d 321 . . . . . . . . . 10
6362ralxp 5149 . . . . . . . . 9
64 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
65 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
66 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
6766nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . 13
68 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68nfan 1928 . . . . . . . . . . . 12
70 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70nfbi 1934 . . . . . . . . . . 11
7265, 71nfral 2843 . . . . . . . . . 10
73 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
74 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . 14
75 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . . 14
7774, 76nfan 1928 . . . . . . . . . . . . 13
78 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78nfbi 1934 . . . . . . . . . . . 12
80 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
8281anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13
83 opeq2 4218 . . . . . . . . . . . . . 14
8483eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
8582, 84bibi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
8673, 79, 85cbvral 3080 . . . . . . . . . . 11
87 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
8988anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13
90 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
9190eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
9289, 91bibi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
9392ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
9486, 93syl5bb 257 . . . . . . . . . 10
9564, 72, 94cbvral 3080 . . . . . . . . 9
9663, 95bitr4i 252 . . . . . . . 8
97 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11
98 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
99 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99opth 4726 . . . . . . . . . . 11
10197, 100syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
102101bibi2d 318 . . . . . . . . 9
1031022ralbidv 2901 . . . . . . . 8
10496, 103syl5bb 257 . . . . . . 7
105104rexxp 5150 . . . . . 6
10651, 105sylibr 212 . . . . 5
107 reu6 3288 . . . . 5
108106, 107sylibr 212 . . . 4
109108ralrimivva 2878 . . 3
110 eqeq1 2461 . . . . . 6
111 vex 3112 . . . . . . 7
112 vex 3112 . . . . . . 7
113111, 112opth 4726 . . . . . 6
114110, 113syl6bb 261 . . . . 5
115114reubidv 3042 . . . 4
116115ralxp 5149 . . 3
117109, 116sylibr 212 . 2
118 nfcv 2619 . . . . 5
119 nfcv 2619 . . . . 5
120 nfcsb1v 3450 . . . . . 6
121 nfcv 2619 . . . . . 6
122120, 121nfop 4233 . . . . 5
123 nfcv 2619 . . . . . 6
124 nfcsb1v 3450 . . . . . 6
125123, 124nfop 4233 . . . . 5
126 csbeq1a 3443 . . . . . 6
127 csbeq1a 3443 . . . . . 6
128 opeq12 4219 . . . . . 6
129126, 127, 128syl2an 477 . . . . 5
130118, 119, 122, 125, 129cbvmpt2 6376 . . . 4
131111, 112op1std 6810 . . . . . . 7
132131csbeq1d 3441 . . . . . 6
133111, 112op2ndd 6811 . . . . . . 7
134133csbeq1d 3441 . . . . . 6
135132, 134opeq12d 4225 . . . . 5
136135mpt2mpt 6394 . . . 4
137130, 136eqtr4i 2489 . . 3
138137f1ompt 6053 . 2
13931, 117, 138sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  [_csb 3434  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421  pwfseqlem5  9062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
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