MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpfi Unicode version

Theorem xpfi 7811
Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpfi

Proof of Theorem xpfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5018 . . . . 5
21eleq1d 2526 . . . 4
32imbi2d 316 . . 3
4 xpeq1 5018 . . . . 5
54eleq1d 2526 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 xpeq1 5018 . . . . 5
87eleq1d 2526 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 xpeq1 5018 . . . . 5
1110eleq1d 2526 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 0xp 5085 . . . . 5
14 0fin 7767 . . . . 5
1513, 14eqeltri 2541 . . . 4
1615a1i 11 . . 3
17 neq0 3795 . . . . . . 7
18 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918difeq2d 3621 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019xpeq1d 5027 . . . . . . . . . . . . . 14
2120eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
2221imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
2322rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
2423adantl 466 . . . . . . . . . 10
25 pm2.27 39 . . . . . . . . . . 11
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
27 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 xpexg 6602 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
31 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 2ndconst 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
34 f1oen2g 7552 . . . . . . . . . . . . . 14
3529, 30, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
36 enfii 7757 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
39 unfi 7807 . . . . . . . . . . . 12
40 xpundir 5058 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 difsnid 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241xpeq1d 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4340, 42syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
4544biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
4739, 46syl5 32 . . . . . . . . . . 11
4838, 47mpan2d 674 . . . . . . . . . 10
4924, 26, 483syld 55 . . . . . . . . 9
5049ex 434 . . . . . . . 8
5150exlimdv 1724 . . . . . . 7
5217, 51syl5bi 217 . . . . . 6
53 xpeq1 5018 . . . . . . . 8
5453, 15syl6eqel 2553 . . . . . . 7
5554a1d 25 . . . . . 6
5652, 55pm2.61d2 160 . . . . 5
5756ex 434 . . . 4
5857com23 78 . . 3
593, 6, 9, 12, 16, 58findcard 7779 . 2
6059imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  |`cres 5006  -1-1-onto->wf1o 5592   c2nd 6799   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  3xpfi  7812  mapfi  7836  fsuppxpfi  7866  infxpenlem  8412  ackbij1lem9  8629  ackbij1lem10  8630  hashxplem  12491  hashmap  12493  fsum2dlem  13585  fsumcom2  13589  ackbijnn  13640  fprod2dlem  13784  fprodcom2  13788  rexpen  13961  crt  14308  phimullem  14309  prmreclem3  14436  ablfaclem3  17138  gsumdixpOLD  17257  gsumdixp  17258  gsumbagdiag  18028  psrass1lem  18029  mplsubrglemOLD  18101  evlslem2  18180  frlmbas3  18807  mamudm  18890  mamufacex  18891  mamures  18892  gsumcom3fi  18902  mamucl  18903  mamudi  18905  mamudir  18906  mamuvs1  18907  mamuvs2  18908  matsca2  18922  matbas2  18923  matplusg2  18929  matvsca2  18930  matplusgcell  18935  matsubgcell  18936  matvscacell  18938  matgsum  18939  mamumat1cl  18941  mattposcl  18955  mdetrsca  19105  mdetunilem9  19122  pmatcoe1fsupp  19202  tsmsxplem1  20655  tsmsxplem2  20656  tsmsxp  20657  i1fadd  22102  i1fmul  22103  itg1addlem4  22106  fsumdvdsmul  23471  fsumvma  23488  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  lgsquadlem3  23631  relfi  27459  sibfof  28282  erdszelem10  28644  cntotbnd  30292  pellex  30771  fourierdlem42  31931  etransclem44  32061  etransclem45  32062  etransclem47  32064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator