Theorem xpima 5454

Description: The image by a constant function (or other Cartesian product). (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xpima

Proof of Theorem xpima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 415	. . 3
2		df-ima 5017	. . . . . . . 8
3		df-res 5016	. . . . . . . . 9
4	3	rneqi 5234	. . . . . . . 8
5	2, 4	eqtri 2486	. . . . . . 7
6		inxp 5140	. . . . . . . 8
7	6	rneqi 5234	. . . . . . 7
8		inv1 3812	. . . . . . . . 9
9	8	xpeq2i 5025	. . . . . . . 8
10	9	rneqi 5234	. . . . . . 7
11	5, 7, 10	3eqtri 2490	. . . . . 6
12		xpeq1 5018	. . . . . . . . 9
13		0xp 5085	. . . . . . . . 9
14	12, 13	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
15	14	rneqd 5235	. . . . . . 7
16		rn0 5259	. . . . . . 7
17	15, 16	syl6eq 2514	. . . . . 6
18	11, 17	syl5eq 2510	. . . . 5
19	18	ancli 551	. . . 4
20		df-ne 2654	. . . . . . 7
21		rnxp 5442	. . . . . . 7
22	20, 21	sylbir 213	. . . . . 6
23	11, 22	syl5eq 2510	. . . . 5
24	23	ancli 551	. . . 4
25	19, 24	orim12i 516	. . 3
26	1, 25	ax-mp 5	. 2
27		eqif 3979	. 2
28	26, 27	mpbir 209	1

Syntax hints:  -.wn 3  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  =/=wne 2652  cvv 3109  i^icin 3474  c0 3784  ifcif 3941  X.cxp 5002  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007

This theorem is referenced by:  xpima1  5455  xpima2  5456  imadifxp  27458  bj-xpimasn  34512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017