Theorem xpmapenlem 7704

Description: Lemma for xpmapen 7705. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1
xpmapen.2
xpmapen.3
xpmapenlem.4
xpmapenlem.5
xpmapenlem.6

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,S,

Proof of Theorem xpmapenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. 2
2		ovex 6324	. . 3
3		ovex 6324	. . 3
4	2, 3	xpex 6604	. 2
5		xpmapen.1	. . . . . . . . 9
6		xpmapen.2	. . . . . . . . 9
7	5, 6	xpex 6604	. . . . . . . 8
8		xpmapen.3	. . . . . . . 8
9	7, 8	elmap 7467	. . . . . . 7
10		ffvelrn 6029	. . . . . . 7
11	9, 10	sylanb 472	. . . . . 6
12		xp1st 6830	. . . . . 6
13	11, 12	syl 16	. . . . 5
14		xpmapenlem.4	. . . . 5
15	13, 14	fmptd 6055	. . . 4
16	5, 8	elmap 7467	. . . 4
17	15, 16	sylibr 212	. . 3
18		xp2nd 6831	. . . . . 6
19	11, 18	syl 16	. . . . 5
20		xpmapenlem.5	. . . . 5
21	19, 20	fmptd 6055	. . . 4
22	6, 8	elmap 7467	. . . 4
23	21, 22	sylibr 212	. . 3
24		opelxpi 5036	. . 3
25	17, 23, 24	syl2anc 661	. 2
26		xp1st 6830	. . . . . . 7
27	5, 8	elmap 7467	. . . . . . 7
28	26, 27	sylib 196	. . . . . 6
29	28	ffvelrnda 6031	. . . . 5
30		xp2nd 6831	. . . . . . 7
31	6, 8	elmap 7467	. . . . . . 7
32	30, 31	sylib 196	. . . . . 6
33	32	ffvelrnda 6031	. . . . 5
34		opelxpi 5036	. . . . 5
35	29, 33, 34	syl2anc 661	. . . 4
36		xpmapenlem.6	. . . 4
37	35, 36	fmptd 6055	. . 3
38	7, 8	elmap 7467	. . 3
39	37, 38	sylibr 212	. 2
40		1st2nd2 6837	. . . . 5
41	40	ad2antlr 726	. . . 4
42	28	feqmptd 5926	. . . . . . 7
43	42	ad2antlr 726	. . . . . 6
44		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12
45	44	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . 11
46		opex 4716	. . . . . . . . . . . . 13
47	36	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . 13
48	46, 47	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
50	45, 49	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
51	50	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
52		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
53		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
54	52, 53	op1st 6808	. . . . . . . . 9
55	51, 54	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
56	55	mpteq2dva 4538	. . . . . . 7
57	14, 56	syl5eq 2510	. . . . . 6
58	43, 57	eqtr4d 2501	. . . . 5
59	32	feqmptd 5926	. . . . . . 7
60	59	ad2antlr 726	. . . . . 6
61	50	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
62	52, 53	op2nd 6809	. . . . . . . . 9
63	61, 62	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
64	63	mpteq2dva 4538	. . . . . . 7
65	20, 64	syl5eq 2510	. . . . . 6
66	60, 65	eqtr4d 2501	. . . . 5
67	58, 66	opeq12d 4225	. . . 4
68	41, 67	eqtrd 2498	. . 3
69		simpll 753	. . . . . 6
70	69, 9	sylib 196	. . . . 5
71	70	feqmptd 5926	. . . 4
72		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
73	72	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
74	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
75	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
76		op1stg 6812	. . . . . . . . . . . 12
77	74, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
78	73, 77	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
79	78	fveq1d 5873	. . . . . . . . 9
80		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
81	14	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . 10
82	80, 81	mpan2 671	. . . . . . . . 9
83	79, 82	sylan9eq 2518	. . . . . . . 8
84	72	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
85		op2ndg 6813	. . . . . . . . . . . 12
86	74, 75, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
87	84, 86	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
88	87	fveq1d 5873	. . . . . . . . 9
89		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
90	20	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . 10
91	89, 90	mpan2 671	. . . . . . . . 9
92	88, 91	sylan9eq 2518	. . . . . . . 8
93	83, 92	opeq12d 4225	. . . . . . 7
94	70	ffvelrnda 6031	. . . . . . . 8
95		1st2nd2 6837	. . . . . . . 8
96	94, 95	syl 16	. . . . . . 7
97	93, 96	eqtr4d 2501	. . . . . 6
98	97	mpteq2dva 4538	. . . . 5
99	36, 98	syl5eq 2510	. . . 4
100	71, 99	eqtr4d 2501	. . 3
101	68, 100	impbida 832	. 2
102	1, 4, 25, 39, 101	en3i 7574	1

Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  cmap 7439  cen 7533

This theorem is referenced by:  xpmapen  7705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-en 7537