MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpmapenlem Unicode version

Theorem xpmapenlem 7704
Description: Lemma for xpmapen 7705. (Contributed by NM, 1-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpmapen.1
xpmapen.2
xpmapen.3
xpmapenlem.4
xpmapenlem.5
xpmapenlem.6
Assertion
Ref Expression
xpmapenlem
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,   , ,   , ,   ,S,

Proof of Theorem xpmapenlem
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . 2
2 ovex 6324 . . 3
3 ovex 6324 . . 3
42, 3xpex 6604 . 2
5 xpmapen.1 . . . . . . . . 9
6 xpmapen.2 . . . . . . . . 9
75, 6xpex 6604 . . . . . . . 8
8 xpmapen.3 . . . . . . . 8
97, 8elmap 7467 . . . . . . 7
10 ffvelrn 6029 . . . . . . 7
119, 10sylanb 472 . . . . . 6
12 xp1st 6830 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 xpmapenlem.4 . . . . 5
1513, 14fmptd 6055 . . . 4
165, 8elmap 7467 . . . 4
1715, 16sylibr 212 . . 3
18 xp2nd 6831 . . . . . 6
1911, 18syl 16 . . . . 5
20 xpmapenlem.5 . . . . 5
2119, 20fmptd 6055 . . . 4
226, 8elmap 7467 . . . 4
2321, 22sylibr 212 . . 3
24 opelxpi 5036 . . 3
2517, 23, 24syl2anc 661 . 2
26 xp1st 6830 . . . . . . 7
275, 8elmap 7467 . . . . . . 7
2826, 27sylib 196 . . . . . 6
2928ffvelrnda 6031 . . . . 5
30 xp2nd 6831 . . . . . . 7
316, 8elmap 7467 . . . . . . 7
3230, 31sylib 196 . . . . . 6
3332ffvelrnda 6031 . . . . 5
34 opelxpi 5036 . . . . 5
3529, 33, 34syl2anc 661 . . . 4
36 xpmapenlem.6 . . . 4
3735, 36fmptd 6055 . . 3
387, 8elmap 7467 . . 3
3937, 38sylibr 212 . 2
40 1st2nd2 6837 . . . . 5
4140ad2antlr 726 . . . 4
4228feqmptd 5926 . . . . . . 7
4342ad2antlr 726 . . . . . 6
44 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
4544fveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11
46 opex 4716 . . . . . . . . . . . . 13
4736fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5045, 49eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
52 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
53 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
5452, 53op1st 6808 . . . . . . . . 9
5551, 54syl6eq 2514 . . . . . . . 8
5655mpteq2dva 4538 . . . . . . 7
5714, 56syl5eq 2510 . . . . . 6
5843, 57eqtr4d 2501 . . . . 5
5932feqmptd 5926 . . . . . . 7
6059ad2antlr 726 . . . . . 6
6150fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
6252, 53op2nd 6809 . . . . . . . . 9
6361, 62syl6eq 2514 . . . . . . . 8
6463mpteq2dva 4538 . . . . . . 7
6520, 64syl5eq 2510 . . . . . 6
6660, 65eqtr4d 2501 . . . . 5
6758, 66opeq12d 4225 . . . 4
6841, 67eqtrd 2498 . . 3
69 simpll 753 . . . . . 6
7069, 9sylib 196 . . . . 5
7170feqmptd 5926 . . . 4
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
7372fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
7417ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
7523ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
76 op1stg 6812 . . . . . . . . . . . 12
7774, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7873, 77eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
7978fveq1d 5873 . . . . . . . . 9
80 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
8114fvmpt2 5963 . . . . . . . . . 10
8280, 81mpan2 671 . . . . . . . . 9
8379, 82sylan9eq 2518 . . . . . . . 8
8472fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
85 op2ndg 6813 . . . . . . . . . . . 12
8674, 75, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
8784, 86eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
8887fveq1d 5873 . . . . . . . . 9
89 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
9020fvmpt2 5963 . . . . . . . . . 10
9189, 90mpan2 671 . . . . . . . . 9
9288, 91sylan9eq 2518 . . . . . . . 8
9383, 92opeq12d 4225 . . . . . . 7
9470ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
95 1st2nd2 6837 . . . . . . . 8
9694, 95syl 16 . . . . . . 7
9793, 96eqtr4d 2501 . . . . . 6
9897mpteq2dva 4538 . . . . 5
9936, 98syl5eq 2510 . . . 4
10071, 99eqtr4d 2501 . . 3
10168, 100impbida 832 . 2
1021, 4, 25, 39, 101en3i 7574 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cmap 7439   cen 7533
This theorem is referenced by:  xpmapen  7705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator