MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpncan Unicode version

Theorem xpncan 11472
Description: Extended real version of pncan 9849. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpncan

Proof of Theorem xpncan
StepHypRef Expression
1 rexneg 11439 . . . 4
21adantl 466 . . 3
32oveq2d 6312 . 2
4 renegcl 9905 . . . . . 6
54ad2antlr 726 . . . . 5
6 rexr 9660 . . . . . 6
7 renepnf 9662 . . . . . 6
8 xaddmnf2 11457 . . . . . 6
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5
105, 9syl 16 . . . 4
11 oveq1 6303 . . . . . 6
12 rexr 9660 . . . . . . . 8
13 renepnf 9662 . . . . . . . 8
14 xaddmnf2 11457 . . . . . . . 8
1512, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . 7
1615adantl 466 . . . . . 6
1711, 16sylan9eqr 2520 . . . . 5
1817oveq1d 6311 . . . 4
19 simpr 461 . . . 4
2010, 18, 193eqtr4d 2508 . . 3
21 simpll 753 . . . . 5
22 simpr 461 . . . . 5
2312ad2antlr 726 . . . . 5
24 renemnf 9663 . . . . . 6
2524ad2antlr 726 . . . . 5
264ad2antlr 726 . . . . . 6
2726, 6syl 16 . . . . 5
28 renemnf 9663 . . . . . 6
2926, 28syl 16 . . . . 5
30 xaddass 11470 . . . . 5
3121, 22, 23, 25, 27, 29, 30syl222anc 1244 . . . 4
32 simplr 755 . . . . . . . 8
33 rexadd 11460 . . . . . . . 8
3432, 26, 33syl2anc 661 . . . . . . 7
3532recnd 9643 . . . . . . . 8
3635negidd 9944 . . . . . . 7
3734, 36eqtrd 2498 . . . . . 6
3837oveq2d 6312 . . . . 5
39 xaddid1 11467 . . . . . 6
4039ad2antrr 725 . . . . 5
4138, 40eqtrd 2498 . . . 4
4231, 41eqtrd 2498 . . 3
4320, 42pm2.61dane 2775 . 2
443, 43eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648  -ucneg 9829   cxne 11344   cxad 11345
This theorem is referenced by:  xnpcan  11473  xleadd1  11476  xaddeq0  27573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831  df-xneg 11347  df-xadd 11348
  Copyright terms: Public domain W3C validator