Theorem xpnnenOLD 13943

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. The key idea is to use nn0opth2 12352 to show that the mapping from positive integers and to is one-to-one. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnenOLD

Proof of Theorem xpnnenOLD

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 10567	. . 3
2		elxp5 6745	. . . . 5
3		nnaddcl 10583	. . . . . . . 8
4		2nn0 10837	. . . . . . . 8
5		nnexpcl 12179	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	sylancl 662	. . . . . . 7
7		nnaddcl 10583	. . . . . . 7
8	6, 7	sylancom 667	. . . . . 6
9	8	adantl 466	. . . . 5
10	2, 9	sylbi 195	. . . 4
11		elxp2 5022	. . . . 5
12		elxp2 5022	. . . . 5
13		inteq 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14	13	inteqd 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17	15, 16	op1stb 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
18	14, 17	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		sneq 4039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	19	rneqd 5235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21	20	unieqd 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	15, 16	op2nda 5498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	21, 22	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	18, 23	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25, 23	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13
27		inteq 4289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27	inteqd 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	29, 30	op1stb 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	28, 31	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		sneq 4039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	rneqd 5235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35	34	unieqd 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	29, 30	op2nda 5498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	35, 36	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	32, 37	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	38	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39, 37	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13
41	26, 40	eqeqan12d 2480	. . . . . . . . . . . 12
42		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . . 14
43		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . . 14
44	42, 43	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . 13
45		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . . 14
46		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . . 14
47	45, 46	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . 13
48		nn0opth2 12352	. . . . . . . . . . . . 13
49	44, 47, 48	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
50	41, 49	sylan9bbr 700	. . . . . . . . . . 11
51		eqeq12 2476	. . . . . . . . . . . . 13
52	15, 16	opth 4726	. . . . . . . . . . . . 13
53	51, 52	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12
54	53	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
55	50, 54	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10
56	55	exp43 612	. . . . . . . . 9
57	56	com23 78	. . . . . . . 8
58	57	rexlimivv 2954	. . . . . . 7
59	58	rexlimdvv 2955	. . . . . 6
60	59	imp 429	. . . . 5
61	11, 12, 60	syl2anb 479	. . . 4
62	10, 61	dom2 7578	. . 3
63	1, 62	ax-mp 5	. 2
64		1nn 10572	. . . . . 6
65	64	elexi 3119	. . . . 5
66	1, 65	xpsnen 7621	. . . 4
67	66	ensymi 7585	. . 3
68	1, 1	xpex 6604	. . . 4
69		ssid 3522	. . . . 5
70		snssi 4174	. . . . . 6
71	64, 70	ax-mp 5	. . . . 5
72		xpss12 5113	. . . . 5
73	69, 71, 72	mp2an 672	. . . 4
74		ssdomg 7581	. . . 4
75	68, 73, 74	mp2 9	. . 3
76		endomtr 7593	. . 3
77	67, 75, 76	mp2an 672	. 2
78		sbth 7657	. 2
79	63, 77, 78	mp2an 672	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  rancrn 5005  (class class class)co 6296  cen 7533  cdom 7534  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cexp 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167