MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpnum Unicode version

Theorem xpnum 8353
Description: The cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpnum

Proof of Theorem xpnum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isnum2 8347 . 2
2 isnum2 8347 . 2
3 reeanv 3025 . . 3
4 omcl 7205 . . . . . . 7
54adantr 465 . . . . . 6
6 omxpen 7639 . . . . . . 7
7 xpen 7700 . . . . . . 7
8 entr 7587 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . 6
10 isnumi 8348 . . . . . 6
115, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5
1211ex 434 . . . 4
1312rexlimivv 2954 . . 3
143, 13sylbir 213 . 2
151, 2, 14syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  (class class class)co 6296   comu 7147   cen 7533   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  iunfictbso  8516  znnen  13946  qnnen  13947  ptcmplem2  20553  finixpnum  30038  isnumbasgrplem2  31053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator