Theorem xpriindi 5144

Description: Distributive law for Cartesian product over relativized indexed intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpriindi

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem xpriindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iineq1 4345	. . . . . . 7
2		0iin 4388	. . . . . . 7
3	1, 2	syl6eq 2514	. . . . . 6
4	3	ineq2d 3699	. . . . 5
5		inv1 3812	. . . . 5
6	4, 5	syl6eq 2514	. . . 4
7	6	xpeq2d 5028	. . 3
8		iineq1 4345	. . . . . 6
9		0iin 4388	. . . . . 6
10	8, 9	syl6eq 2514	. . . . 5
11	10	ineq2d 3699	. . . 4
12		inv1 3812	. . . 4
13	11, 12	syl6eq 2514	. . 3
14	7, 13	eqtr4d 2501	. 2
15		xpindi 5141	. . 3
16		xpiindi 5143	. . . 4
17	16	ineq2d 3699	. . 3
18	15, 17	syl5eq 2510	. 2
19	14, 18	pm2.61ine 2770	1

Syntax hints:  =wceq 1395  =/=wne 2652  cvv 3109  i^icin 3474  c0 3784  |^|_ciin 4331  X.cxp 5002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iin 4333  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011