MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Unicode version

Theorem xpsc0 14438
Description: The pair function maps to . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 14435 . . . 4
21fveq1i 5662 . . 3
3 fnconstg 5568 . . . 4
4 vex 2954 . . . . . . . . . . . . 13
5 fvi 5718 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
7 elsni 3879 . . . . . . . . . . . . 13
87fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
96, 8syl5eqr 2468 . . . . . . . . . . 11
10 elsn 3868 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylibr 206 . . . . . . . . . 10
1211ssriv 3337 . . . . . . . . 9
13 xpss2 4920 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 1on 6888 . . . . . . . . . 10
1615elexi 2961 . . . . . . . . 9
17 fvex 5671 . . . . . . . . 9
1816, 17xpsn 5854 . . . . . . . 8
1914, 18sseqtri 3365 . . . . . . 7
2016, 17funsn 5436 . . . . . . 7
21 funss 5408 . . . . . . 7
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6
23 funfn 5419 . . . . . 6
2422, 23mpbi 202 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
26 dmxpss 5241 . . . . . . 7
27 sslin 3553 . . . . . . 7
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6
29 1n0 6896 . . . . . . . 8
3029necomi 2673 . . . . . . 7
31 disjsn2 3914 . . . . . . 7
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6
33 sseq0 3646 . . . . . 6
3428, 32, 33mp2an 657 . . . . 5
3534a1i 11 . . . 4
36 0ex 4397 . . . . . 6
3736snid 3882 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4
39 fvun1 5732 . . . 4
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1207 . . 3
412, 40syl5eq 2466 . 2
42 xpsng 5853 . . . . 5
4342fveq1d 5663 . . . 4
44 fvsng 5881 . . . 4
4543, 44eqtrd 2454 . . 3
4636, 45mpan 655 . 2
4741, 46eqtrd 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   cvv 2951  u.cun 3303  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  {csn 3853  <.cop 3856   cid 4602   con0 4690  X.cxp 4809  `'ccnv 4810  domcdm 4811  Funwfun 5384  Fnwfn 5385  `cfv 5390  (class class class)co 6061   c1o 6874   ccda 8283
This theorem is referenced by:  xpscfv  14440  xpsfeq  14442  xpsfrnel2  14443  xpsff1o  14446  xpsle  14459  dmdprdpr  16416  dprdpr  16417  xpstopnlem1  19086  xpstopnlem2  19088  xpsxmetlem  19654  xpsdsval  19656  xpsmet  19657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-1o 6881  df-cda 8284
  Copyright terms: Public domain W3C validator