MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Unicode version

Theorem xpsc0 14657
Description: The pair function maps to . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 14654 . . . 4
21fveq1i 5814 . . 3
3 fnconstg 5720 . . . 4
4 vex 3084 . . . . . . . . . . . . 13
5 fvi 5871 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
7 elsni 4018 . . . . . . . . . . . . 13
87fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . 12
96, 8syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . 11
10 elsn 4007 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylibr 212 . . . . . . . . . 10
1211ssriv 3474 . . . . . . . . 9
13 xpss2 5066 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 1on 7061 . . . . . . . . . 10
1615elexi 3091 . . . . . . . . 9
17 fvex 5823 . . . . . . . . 9
1816, 17xpsn 6008 . . . . . . . 8
1914, 18sseqtri 3502 . . . . . . 7
2016, 17funsn 5585 . . . . . . 7
21 funss 5555 . . . . . . 7
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6
23 funfn 5566 . . . . . 6
2422, 23mpbi 208 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
26 dmxpss 5388 . . . . . . 7
27 sslin 3690 . . . . . . 7
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6
29 1n0 7069 . . . . . . . 8
3029necomi 2723 . . . . . . 7
31 disjsn2 4054 . . . . . . 7
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6
33 sseq0 3783 . . . . . 6
3428, 32, 33mp2an 672 . . . . 5
3534a1i 11 . . . 4
36 0ex 4539 . . . . . 6
3736snid 4021 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4
39 fvun1 5885 . . . 4
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1223 . . 3
412, 40syl5eq 2507 . 2
42 xpsng 6007 . . . . 5
4342fveq1d 5815 . . . 4
44 fvsng 6037 . . . 4
4543, 44eqtrd 2495 . . 3
4636, 45mpan 670 . 2
4741, 46eqtrd 2495 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   cvv 3081  u.cun 3440  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  {csn 3993  <.cop 3999   cid 4748   con0 4836  X.cxp 4955  `'ccnv 4956  domcdm 4957  Funwfun 5531  Fnwfn 5532  `cfv 5537  (class class class)co 6222   c1o 7047   ccda 8473
This theorem is referenced by:  xpscfv  14659  xpsfeq  14661  xpsfrnel2  14662  xpsff1o  14665  xpsle  14678  dmdprdpr  16723  dprdpr  16724  xpstopnlem1  19781  xpstopnlem2  19783  xpsxmetlem  20353  xpsdsval  20355  xpsmet  20356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-1o 7054  df-cda 8474
  Copyright terms: Public domain W3C validator