MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscf Unicode version

Theorem xpscf 14663
Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscf

Proof of Theorem xpscf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 3942 . . . . . 6
21eleq2i 2532 . . . . 5
32ralbii 2840 . . . 4
43anbi2i 694 . . 3
5 ovex 6247 . . . . 5
65cnvex 6658 . . . 4
76elixp 7404 . . 3
8 ffnfv 5992 . . 3
94, 7, 83bitr4i 277 . 2
10 xpsfrnel2 14662 . 2
119, 10bitr3i 251 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   c0 3751  ifcif 3905  {csn 3993  `'ccnv 4956  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   c2o 7048  X_cixp 7397   ccda 8473
This theorem is referenced by:  xpsmnd  15620  xpsgrp  15833  dmdprdpr  16723  dprdpr  16724  xpstopnlem1  19781  xpstps  19782  xpsxms  20508  xpsms  20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-cda 8474
  Copyright terms: Public domain W3C validator