MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsnen Unicode version

Theorem xpsnen 7621
Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsnen.1
xpsnen.2
Assertion
Ref Expression
xpsnen

Proof of Theorem xpsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsnen.1 . . 3
2 snex 4693 . . 3
31, 2xpex 6604 . 2
4 elxp 5021 . . 3
5 inteq 4289 . . . . . . . 8
65inteqd 4291 . . . . . . 7
7 vex 3112 . . . . . . . 8
8 vex 3112 . . . . . . . 8
97, 8op1stb 4722 . . . . . . 7
106, 9syl6eq 2514 . . . . . 6
1110, 7syl6eqel 2553 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
1312exlimivv 1723 . . 3
144, 13sylbi 195 . 2
15 opex 4716 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 eqvisset 3117 . . . . 5
18 ancom 450 . . . . . . . . . . 11
19 anass 649 . . . . . . . . . . 11
20 elsn 4043 . . . . . . . . . . . 12
2120anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11
2218, 19, 213bitr3i 275 . . . . . . . . . 10
2322exbii 1667 . . . . . . . . 9
24 xpsnen.2 . . . . . . . . . 10
25 opeq2 4218 . . . . . . . . . . . 12
2625eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
2824, 27ceqsexv 3146 . . . . . . . . 9
29 inteq 4289 . . . . . . . . . . . . . 14
3029inteqd 4291 . . . . . . . . . . . . 13
317, 24op1stb 4722 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl6req 2515 . . . . . . . . . . . 12
3332pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . 11
3433anbi1i 695 . . . . . . . . . 10
35 anass 649 . . . . . . . . . 10
3634, 35bitri 249 . . . . . . . . 9
3723, 28, 363bitri 271 . . . . . . . 8
3837exbii 1667 . . . . . . 7
394, 38bitri 249 . . . . . 6
40 opeq1 4217 . . . . . . . . 9
4140eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
42 eleq1 2529 . . . . . . . 8
4341, 42anbi12d 710 . . . . . . 7
4443ceqsexgv 3232 . . . . . 6
4539, 44syl5bb 257 . . . . 5
4617, 45syl 16 . . . 4
4746pm5.32ri 638 . . 3
4832adantr 465 . . . . 5
4948pm4.71i 632 . . . 4
5043pm5.32ri 638 . . . 4
5149, 50bitr2i 250 . . 3
52 ancom 450 . . 3
5347, 51, 523bitri 271 . 2
543, 1, 14, 16, 53en2i 7573 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  X.cxp 5002   cen 7533
This theorem is referenced by:  xpsneng  7622  endisj  7624  infxpenlem  8412  pm110.643  8578  hashxplem  12491  xpnnenOLD  13943  rexpen  13961  heiborlem3  30309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator