MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpwdomg Unicode version

Theorem xpwdomg 8032
Description: Weak dominance of a Cartesian product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpwdomg

Proof of Theorem xpwdomg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 8030 . . 3
21adantr 465 . 2
3 brwdom3i 8030 . . 3
43adantl 466 . 2
5 relwdom 8013 . . . . . . . . . 10
65brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
75brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
8 xpexg 6602 . . . . . . . . 9
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7
115brrelex2i 5046 . . . . . . . . 9
125brrelex2i 5046 . . . . . . . . 9
13 xpexg 6602 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8
1514adantr 465 . . . . . . 7
16 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14
1918ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . 13
2019impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
21 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14
2625ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . 13
2726ralimi 2850 . . . . . . . . . . . 12
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11
29 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . 14
30 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31opth 4726 . . . . . . . . . . . . . 14
3329, 32syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13
34332rexbidv 2975 . . . . . . . . . . . 12
3534ralxp 5149 . . . . . . . . . . 11
3628, 35sylibr 212 . . . . . . . . . 10
3736r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9
38 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
39 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39op1std 6810 . . . . . . . . . . . . 13
4140fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
4238, 39op2ndd 6811 . . . . . . . . . . . . 13
4342fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
4441, 43opeq12d 4225 . . . . . . . . . . 11
4544eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
4645rexxp 5150 . . . . . . . . 9
4737, 46sylibr 212 . . . . . . . 8
4847adantll 713 . . . . . . 7
4910, 15, 48wdom2d 8027 . . . . . 6
5049expr 615 . . . . 5
5150exlimdv 1724 . . . 4
5251ex 434 . . 3
5352exlimdv 1724 . 2
542, 4, 53mp2d 45 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799   cwdom 8004
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006
  Copyright terms: Public domain W3C validator