Theorem xpwdomg 8032

Description: Weak dominance of a Cartesian product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpwdomg

Proof of Theorem xpwdomg

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom3i 8030	. . 3
2	1	adantr 465	. 2
3		brwdom3i 8030	. . 3
4	3	adantl 466	. 2
5		relwdom 8013	. . . . . . . . . 10
6	5	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
7	5	brrelexi 5045	. . . . . . . . 9
8		xpexg 6602	. . . . . . . . 9
9	6, 7, 8	syl2an 477	. . . . . . . 8
10	9	adantr 465	. . . . . . 7
11	5	brrelex2i 5046	. . . . . . . . 9
12	5	brrelex2i 5046	. . . . . . . . 9
13		xpexg 6602	. . . . . . . . 9
14	11, 12, 13	syl2an 477	. . . . . . . 8
15	14	adantr 465	. . . . . . 7
16		pm3.2 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	16	ralimdv 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	com12 31	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	ralimdv 2867	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	impcom 430	. . . . . . . . . . . 12
21		pm3.2 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	21	reximdv 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	22	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	reximdv 2931	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	ralimi 2850	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	ralimi 2850	. . . . . . . . . . . 12
28	20, 27	syl 16	. . . . . . . . . . 11
29		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . 14
30		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	30, 31	opth 4726	. . . . . . . . . . . . . 14
33	29, 32	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13
34	33	2rexbidv 2975	. . . . . . . . . . . 12
35	34	ralxp 5149	. . . . . . . . . . 11
36	28, 35	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
37	36	r19.21bi 2826	. . . . . . . . 9
38		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
39		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
40	38, 39	op1std 6810	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . 12
42	38, 39	op2ndd 6811	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . 12
44	41, 43	opeq12d 4225	. . . . . . . . . . 11
45	44	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10
46	45	rexxp 5150	. . . . . . . . 9
47	37, 46	sylibr 212	. . . . . . . 8
48	47	adantll 713	. . . . . . 7
49	10, 15, 48	wdom2d 8027	. . . . . 6
50	49	expr 615	. . . . 5
51	50	exlimdv 1724	. . . 4
52	51	ex 434	. . 3
53	52	exlimdv 1724	. 2
54	2, 4, 53	mp2d 45	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  c1st 6798  c2nd 6799  cwdom 8004

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006